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正文內(nèi)容

數(shù)列極限的求法探討(編輯修改稿)

2024-07-22 02:18 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 四則運(yùn)算法則相結(jié)合,有時(shí)還可以求出某些單調(diào)有界數(shù)列的極限。,(此式子因?yàn)椋┰嚽?證明:令則(應(yīng)為) 利用歸納法可證 注意到當(dāng)時(shí),恒有. 故而推知,所以. 這說(shuō)明為單調(diào)增加且有界的數(shù)列,故極限存在。 記,再由正玄函數(shù)的連續(xù)性,有 取極限得.(應(yīng)為)由此可知必有. .(應(yīng)為)注:利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在,主要針對(duì)遞推數(shù)列,必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)方面的性質(zhì):?jiǎn)握{(diào)性和有界性。解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性,一般通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)。在某些領(lǐng)域的極限問(wèn)題中,如能求出數(shù)列中各項(xiàng)間的遞推關(guān)系,往往可以比較地證明極限存在,并計(jì)算出極限。,由遞推公式 來(lái)決定,求.解:若從題中所給的等式的兩端各減去,則得 .令,得,且。 ( 序列 , )(刪掉) 對(duì)的前n項(xiàng)求和,得 即,令,便有(柯西收斂準(zhǔn)則) 點(diǎn)列存在極限的充要條件是對(duì)于任意給定的, 存在當(dāng)時(shí), 當(dāng). 即:正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),有.:數(shù)列為收斂數(shù)列. 取,當(dāng)時(shí),有 由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.(有界變差數(shù)列收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂 則稱為有界變差數(shù)列,試證:有界變差數(shù)列一定收斂證:令,有單調(diào)遞增. 由已知知有界,故收斂。從而, 使得當(dāng)時(shí),有. 即由柯西收斂準(zhǔn)則,知數(shù)列收斂注:按極限定義證明一個(gè)數(shù)列收斂時(shí),必須先知道它的極限是什么。有界變 差數(shù)列收斂定理的重要性在于,它使我們可以從數(shù)列本身出發(fā)去研究其斂散性,
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