數(shù)列極限的求法探討(編輯修改稿)
2024-07-22 02:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 四則運(yùn)算法則相結(jié)合，有時(shí)還可以求出某些單調(diào)有界數(shù)列的極限。,（此式子因?yàn)椋┰嚽?證明：令則（應(yīng)為） 利用歸納法可證 注意到當(dāng)時(shí)，恒有. 故而推知，所以. 這說(shuō)明為單調(diào)增加且有界的數(shù)列，故極限存在。 記,再由正玄函數(shù)的連續(xù)性，有 取極限得.(應(yīng)為)由此可知必有. .（應(yīng)為）注:利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在，主要針對(duì)遞推數(shù)列，必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)方面的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性和有界性。解題的難點(diǎn)在于判斷單調(diào)性，一般通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項(xiàng)。在某些領(lǐng)域的極限問(wèn)題中，如能求出數(shù)列中各項(xiàng)間的遞推關(guān)系，往往可以比較地證明極限存在，并計(jì)算出極限。，由遞推公式 來(lái)決定，求.解：若從題中所給的等式的兩端各減去，則得 .令，得，且。 （ 序列 ， ）（刪掉） 對(duì)的前n項(xiàng)求和，得 即，令，便有（柯西收斂準(zhǔn)則） 點(diǎn)列存在極限的充要條件是對(duì)于任意給定的， 存在當(dāng)時(shí)， 當(dāng). 即：正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.：數(shù)列為收斂數(shù)列. 取，當(dāng)時(shí)，有 由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂.（有界變差數(shù)列收斂定理） 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂 則稱為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂證：令,有單調(diào)遞增. 由已知知有界，故收斂。從而， 使得當(dāng)時(shí)，有. 即由柯西收斂準(zhǔn)則，知數(shù)列收斂注：按極限定義證明一個(gè)數(shù)列收斂時(shí)，必須先知道它的極限是什么。有界變 差數(shù)列收斂定理的重要性在于，它使我們可以從數(shù)列本身出發(fā)去研究其斂散性，
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