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正文內(nèi)容

數(shù)列極限的求法探討(編輯修改稿)

2024-07-22 02:18 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 四則運算法則相結(jié)合,有時還可以求出某些單調(diào)有界數(shù)列的極限。,(此式子因為)試求.證明:令則(應(yīng)為) 利用歸納法可證 注意到當(dāng)時,恒有. 故而推知,所以. 這說明為單調(diào)增加且有界的數(shù)列,故極限存在。 記,再由正玄函數(shù)的連續(xù)性,有 取極限得.(應(yīng)為)由此可知必有. .(應(yīng)為)注:利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在,主要針對遞推數(shù)列,必須驗證數(shù)列兩個方面的性質(zhì):單調(diào)性和有界性。解題的難點在于判斷單調(diào)性,一般通過數(shù)學(xué)歸納法、減法、除法比較前后項。在某些領(lǐng)域的極限問題中,如能求出數(shù)列中各項間的遞推關(guān)系,往往可以比較地證明極限存在,并計算出極限。,由遞推公式 來決定,求.解:若從題中所給的等式的兩端各減去,則得 .令,得,且。 ( 序列 , )(刪掉) 對的前n項求和,得 即,令,便有(柯西收斂準(zhǔn)則) 點列存在極限的充要條件是對于任意給定的, 存在當(dāng)時, 當(dāng). 即:正整數(shù),使得當(dāng)時,有.:數(shù)列為收斂數(shù)列. 取,當(dāng)時,有 由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.(有界變差數(shù)列收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂 則稱為有界變差數(shù)列,試證:有界變差數(shù)列一定收斂證:令,有單調(diào)遞增. 由已知知有界,故收斂。從而, 使得當(dāng)時,有. 即由柯西收斂準(zhǔn)則,知數(shù)列收斂注:按極限定義證明一個數(shù)列收斂時,必須先知道它的極限是什么。有界變 差數(shù)列收斂定理的重要性在于,它使我們可以從數(shù)列本身出發(fā)去研究其斂散性,
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