數(shù)列極限的解法(15種)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 67．[15] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]．北京：高等教育出版社，1986：150．[16] 吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏編著．?dāng)?shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)(下冊(cè))．[M]北京：高等教育出版社，2004：58．。定義1 ：設(shè)在上有定義，方程在上的解稱(chēng)為在上的不動(dòng)點(diǎn)。由于數(shù)列與級(jí)數(shù)在形式上的統(tǒng)一性，有時(shí)數(shù)列極限的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)求和，從而通過(guò)級(jí)數(shù)求和的知識(shí)使問(wèn)題得到解決. ，（a1） 解：令，則，考慮級(jí)數(shù).，∴此級(jí)數(shù)收斂. 令=，再令=，∵ ∴==而 因此，原式=.9．利用級(jí)數(shù)收斂性判斷極限存在。6．利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限歸結(jié)原則：對(duì)任何，有例9. 求 解：= =1 解：一方面，另一方面， 由歸結(jié)原則（?。┯善葦啃缘?注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等優(yōu)良性質(zhì)，有時(shí)我們可以借助函數(shù)的這些優(yōu)良性質(zhì)將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化和解決.7．利用施篤茲（）定理求數(shù)列極限 定理1：型：若是嚴(yán)格遞增的正無(wú)窮大數(shù)列，它與數(shù)列一起滿(mǎn)足，或+，或. 定理2：型：若是嚴(yán)格遞減的趨向于零的數(shù)列，時(shí) 且，或+，或..解：令則由定理1得= =此題亦可由方法五（即定積分定義）求得，也較為簡(jiǎn)便，此略. 解：令，則單增，于是由定理2得= = ===.注：Stolz定理是一種簡(jiǎn)便的求極限方法，特別對(duì)分子、分母為求和型，（LHospita）法則.8．利用級(jí)數(shù)求和求數(shù)列極限。定理1：設(shè)函數(shù)，在的某個(gè)領(lǐng)域里有意義，0，且當(dāng)時(shí)，則在右端極限存在時(shí)成立. 解：令，當(dāng)時(shí)，由定理1得.，（為非零常數(shù)） 解：原式= 令，當(dāng)時(shí)，由定理1得 = ∴=.注：我們知道，當(dāng)時(shí)，函數(shù)都與等價(jià)，倘若熟悉這些等價(jià)函數(shù)，觀(guān)察它們與本文定理中的的關(guān)系，把求某些函數(shù)列極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求熟知的數(shù)列極限問(wèn)題，這樣就會(huì)起到事半功倍的效果.
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