數(shù)列極限的解法(15種)-文庫吧
2025-06-10 02:18 本頁面
【正文】 （1） 用數(shù)學(xué)歸納法易證： 此即證單調(diào)遞增.用數(shù)學(xué)歸納法可證， 事實(shí)上， 由（1）（2）證得單調(diào)遞增有上界，從而存在，對(duì)（1）式兩邊取極限得 ,解得和（舍去）.4．利用迫斂性準(zhǔn)則（即兩邊夾法）迫斂性：設(shè)數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且.解：記，則 由迫斂性得=.注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用.5．利用定積分的定義計(jì)算極限黎曼積分定義：設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)，J為一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任意分割T,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要T，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)J為在上的定積分，記作.例7. 解：原式= = = 解：因?yàn)橛? =同理由迫斂性得=.注：數(shù)列極限為“有無窮多項(xiàng)無窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)范”這一類型問題時(shí)，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論。6．利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限歸結(jié)原則：對(duì)任何，有例9. 求 解：= =1 解：一方面，另一方面， 由歸結(jié)原則（?。┯善葦啃缘?注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等優(yōu)良性質(zhì)，有時(shí)我們可以借助函數(shù)的這些優(yōu)良性質(zhì)將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，從而使問題得到簡(jiǎn)化和解決.7．利用施篤茲（）定理求數(shù)列極限 定理1：型：若是嚴(yán)格遞增的正無窮大數(shù)列，它與數(shù)列一起滿足，或+，或. 定理2：型：若是嚴(yán)格遞減的趨向于零的數(shù)列，時(shí) 且，或+，或..解：令則由定理1得= =此題亦可由方法五（即定積分定義）求得，也較為簡(jiǎn)便，此略. 解：令，則單增，于是由定理2得= = ===.注：Stolz定理是
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