數(shù)列極限的解法(15種)(專業(yè)版)
【正文】 6．利用（海涅）歸結原則求數(shù)列極限歸結原則：對任何，有例9. 求 解：= =1 解：一方面，另一方面， 由歸結原則（?。┯善葦啃缘?注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導、可微、可積等優(yōu)良性質(zhì)，有時我們可以借助函數(shù)的這些優(yōu)良性質(zhì)將數(shù)列極限轉化為函數(shù)極限，從而使問題得到簡化和解決.7．利用施篤茲（）定理求數(shù)列極限 定理1：型：若是嚴格遞增的正無窮大數(shù)列，它與數(shù)列一起滿足，或+，或. 定理2：型：若是嚴格遞減的趨向于零的數(shù)列，時 且，或+，或..解：令則由定理1得= =此題亦可由方法五（即定積分定義）求得，也較為簡便，此略. 解：令，則單增，于是由定理2得= = ===.注：Stolz定理是一種簡便的求極限方法，特別對分子、分母為求和型，（LHospita）法則.8．利用級數(shù)求和求數(shù)列極限。引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無窮小數(shù)列．注：上述引理說明，若，則可作“變量”替換：令，其中是一無窮小數(shù)列.定理1 ：若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列，反之亦成立．定理2 ：若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列．推論1 ：設數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列．例18.(算數(shù)平均收斂公式)設，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，==. 此題還可以用方法一（定義法）證明，也可通過方法七（施篤茲公式）求得，此略.，求極限. 解：由，作“變量”代換，令，其中，是一無窮小數(shù)列，故==因為，所以是有界數(shù)列，即，從而結合上述推論1有， 再根據(jù)定理1，便有又由定理2可知，∴=.注：利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限通常在高等數(shù)學和數(shù)學分析教材中介紹甚少，但卻是一種很實用有效的方法．用這種方法求某類數(shù)列的極限是極為方便的．。定義2：若存在一個常數(shù)，且，使得有，則稱是上的一個壓縮映射。壓縮映射原理：設稱是上的一個壓縮映射且,對，有，則稱在上存在唯一的不動
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