一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-文庫(kù)吧
2025-07-18 20:25 本頁(yè)面
【正文】 , ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。( ) 0fx? , ()f a a? , ()f b b? .設(shè) 1xa? ,則遞推 數(shù)列 1 ()nnx f x? ? （ 1,2,3,n? ）收斂 . 證明 只需證明數(shù)列 ??nx 單調(diào)有界 ,可 用歸納法證之 . 1ο 當(dāng) 1n? 時(shí) ,由于 1 ()x a f a?? , 21()x f x? ,因此 21()x f a x??, 又 39。( ) 0fx? ,所以 ( ) ( )f a f b? , 而 ()f b b? ,故有 12a x x b? ? ? , 從而 結(jié)論成立 . 2ο 假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí) ,結(jié)論成立 ,即 1kka x x b?? ? ?. 當(dāng) 1nk??時(shí) ,由于 39。( ) 0fx? ,則有 ( ) ( )kf a f x? 1( ) ( )kf x f b???, 即得 12() kkf a x x b??? ? ?,也即 12kka x x b??? ? ?, 從而 當(dāng) 1nk??時(shí) ,結(jié)論成立 . 故命題 1 得證 . 命題 2 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。( ) 0fx? , ()f a a? , ()f b b? .設(shè) 1xb? ,則 遞推 數(shù)列 1 ()nnx f x? ? （ 1,2,3,n? ,） 收斂 . 證明 類似于命題 1,可 以 證 明 數(shù)列 ??nx 單調(diào) 遞 減 并 且有界 ,即 3 bxxa nn ??? ?1 ， 從而 數(shù)列 ??nx 收斂 . 注 :在命題 1,命題 2 的條件下 ,若還滿足“ ()fx在 [, ]ab 上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)”條件 ,易知 數(shù)列 ??nx 必收斂于該不動(dòng)點(diǎn) . 事實(shí)上 ,在滿足所給條件的情況下 ,由數(shù)學(xué)分析 [8]中的確界原理 及 上確界的定義 ,對(duì)于 命題 1中的數(shù)列 {}nx ,b 必為其 上確界 .任給 0?? ,按上確界的定義 ,存在數(shù)列 {}nx 中的某一項(xiàng) Nx ,使得 Nbx??? .又由 {}nx 的遞增性 ,當(dāng) nN? 時(shí)有Nnb x x?? ? ? .另一方面 ,由于 b 是 {}nx 的一個(gè)上界 ,故對(duì)一切 nx 都有 nx b b ?? ? ? .所以當(dāng) nN? 時(shí)有 nb x b??? ? ? ?,從而 limnn xb?? ?. 這為命題 1,2 的應(yīng)用提供了方便 . 命題 3 設(shè) ()fx在區(qū)間 I 上可導(dǎo) , ( ) 0fx? ? ,且對(duì)任意的 xI? ,有 ()f x I? .則由 1 ()nnx f x? ? , 1xI? 確定的兩個(gè)子列 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 分
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