一類遞推數列的單調性與極限-閱讀頁
2024-09-10 20:25本頁面
【正文】 39。 如果 13xx? ,同理可得子列 ? ?21nx? 單調減少 ,而偶數項子列 ? ?2nx 單調增加 . 推論 [1] 對于遞推數列 1 nn nax bx xc? ?? ?（ ac b? , 1,2,3,n? ） , 如果 1, , ,abcx 全為正數時 ,那么 數列 ??nx 收斂 ,且收斂于 l ,其中 4 2( ) 42a c a c bl ? ? ? ?? , 這里 l 是方程 ax bxxc?? ?的一個正根 . 證明 由于迭代函數 () ax bfxxc?? ?的導數239。( ) 0fx? . 當 2 1 1()x f x x??時 ,由于 l 是 函數 ()fx唯一的一個正的不動點 , 因而 1xl? ,于是 nxl? 是常數列 ,故 limnn xl?? ?。 （ 2） 若 0ac b?? ,則 39。 當 1xl? 時 ,類似可證 。( ) 0( 3)fx x??? , ( 3) 3f ? , 而 6 11()f x x? 111( 3 )( 3 ) 03xxx????? ,即 11()f x x? , 故數列 ??nx 在區(qū)間 1[ , 3]x 上滿足 命題 1 的條件 ,于是 數列 ??nx 收斂 . 又 ()fx在 1[ , 3]x 上有唯一的不動點 3 ,于是 lim 3nn x?? ? . 例 2[9] 已知函數 412)( 23 ???? xxxxf ， 且存在 )21,0(0?x， 使 00)( xxf ? .設 01?x , )(1 nn xfx ?? , 211?y， )(1 nn yfy ?? ,其中 ?,2,1?n ,證明 : nnnn yyxxx ???? ?? 101 ． 證 明 由 數列 ??nx 的 迭代函數 412)( 23 ???? xxxxf 得 2123)( 239。 ???? xxf ， 7 又由計算得 1 12x?,212131 2x ???,313251 3x ???, , 顯然 有 13xx? , 從而 根據命題 3的結論 知 ,由 1 ()nnx f x? ? 確定的 數列 {}nx 的 子列 ? ?21nx? 為單調遞增數列 ,? ?2nx 為單調遞減數列 ， 而 {}nx 不具有單調性 . 例 4[4] 設 1?? , 1x ?? ,1 1 nn nxx x?? ?? ?,（ 1,2,3,n? ） ,求證 :limnn x ??? ?. 證明 設 () 1 xfx x??? ? （ 0x? ） ,則 2
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鄂ICP備17016276號-1