一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-免費閱讀
【正文】 ( ) 0( 3)fx x??? , ( 3) 3f ? , 而 6 11()f x x? 111( 3 )( 3 ) 03xxx????? ,即 11()f x x? , 故數(shù)列 ??nx 在區(qū)間 1[ , 3]x 上滿足 命題 1 的條件 ,于是 數(shù)列 ??nx 收斂 . 又 ()fx在 1[ , 3]x 上有唯一的不動點 3 ,于是 lim 3nn x?? ? . 例 2[9] 已知函數(shù) 412)( 23 ???? xxxxf ， 且存在 )21,0(0?x， 使 00)( xxf ? .設 01?x , )(1 nn xfx ?? , 211?y， )(1 nn yfy ?? ,其中 ?,2,1?n ,證明 : nnnn yyxxx ???? ?? 101 ． 證 明 由 數(shù)列 ??nx 的 迭代函數(shù) 412)( 23 ???? xxxxf 得 2123)( 239。 如果 13xx? ,同理可得子列 ? ?21nx? 單調(diào)減少 ,而偶數(shù)項子列 ? ?2nx 單調(diào)增加 . 推論 [1] 對于遞推數(shù)列 1 nn nax bx xc? ?? ?（ ac b? , 1,2,3,n? ） , 如果 1, , ,abcx 全為正數(shù)時 ,那么 數(shù)列 ??nx 收斂 ,且收斂于 l ,其中 4 2( ) 42a c a c bl ? ? ? ?? , 這里 l 是方程 ax bxxc?? ?的一個正根 . 證明 由于迭代函數(shù) () ax bfxxc?? ?的導數(shù)239。 monotonicity。( ) 0fx? ,所以 ( ) ( )f a f b? , 而 ()f b b? ,故有 12a x x b? ? ? , 從而 結(jié)論成立 . 2ο 假設當 nk? 時 ,結(jié)論成立 ,即 1kka x x b?? ? ?. 當 1nk??時 ,由于 39。( ) 0fx? . 當 1xl? 時 , 1 nnn a x b a x a cxax c x c? ??? ? ?, 注意到 注意到 ()f l l? ,由 1xl? ? 1( ) ( )f x f l? ,即 2xl? , 進一步有 2()fx? ()fl,即 3xl? ,? , 易用數(shù)學歸納法證明 : 2na x l??. 因 而 2( ) ( ) ( )nf l f x f a??, 即 5 221n ablx ac? ????, 1,2,3,n? , 即 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 有界 ,故均收斂 . 且由 21 1 1 121
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鄂ICP備17016276號-1