一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限(完整版)
【正文】 1( ) ( )kf x f b???, 即得 12() kkf a x x b??? ? ?,也即 12kka x x b??? ? ?, 從而 當(dāng) 1nk??時(shí) ,結(jié)論成立 . 故命題 1 得證 . 命題 2 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。 一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限 摘 要 : 本文 討論了一類遞推數(shù)列 1 ()nnx f x? ? 的單調(diào)性與收斂性問題 ,同時(shí)也推廣與包含了近期一些文獻(xiàn)中的結(jié)果 . 關(guān)鍵詞 ： 遞推數(shù)列 ； 單調(diào)性 ； 不動點(diǎn) ； 收斂 The Limits and Monotonicity of a Recursive Sequence XIA Yucheng (Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432020,China) Abstract: In this paper, the results on the monotonicity and convergence of the recursive sequence )(1 nn xfx ?? in some resent documents are given, and then, the results are generalized. Key words: recursive sequence 。( ) 0fx? , ()f a a? , ()f b b? .設(shè) 1xb? ,則 遞推 數(shù)列 1 ()nnx f x? ? （ 1,2,3,n? ,） 收斂 . 證明 類似于命題 1,可 以 證 明 數(shù)列 ??nx 單調(diào) 遞 減 并 且有界 ,即 3 bxxa nn ??? ?1 ， 從而 數(shù)列 ??nx 收斂 . 注 :在命題 1,命題 2 的條件下 ,若還滿足“ ()fx在 [, ]ab 上有唯一的不動點(diǎn)”條件 ,易知 數(shù)列 ??nx 必收斂于該不動點(diǎn) . 事實(shí)上 ,在滿足所給條件的情況下 ,由數(shù)學(xué)分析 [8]中的確界原理 及 上確界的定義 ,對于 命題 1中的數(shù)列 {}nx ,b 必為其 上確界 .任給 0?? ,按上確界的定義 ,存在數(shù)列 {}nx 中的某一項(xiàng) Nx ,使得 Nbx??? .又由 {}nx 的遞增性 ,當(dāng) nN? 時(shí)有Nnb x x?? ? ? .另一方面 ,由于 b 是 {}nx 的一個(gè)上界 ,故對一切 nx 都有 nx b b ?? ? ? .所以當(dāng) nN? 時(shí)有 nb x b??? ? ? ?,從而 limnn xb?? ?. 這為命題 1,2
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