一類連續(xù)正交投影算子的表示定理(完整版)
【正文】 差，一些規(guī)劃問題中的理論也涉及到投影方法 .因此對投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻畫顯得由為重要，對它的研究具有理論上的意義 . 考慮 實(shí)數(shù)域上的一個(gè) n 維線性空間 W ， W L M??. xW?? 有分解式x y z??，其中 ,y L z M??則稱 y 叫做 x 沿 M 到 L 的投影 .如果用 ? 表示由 W 到L 上的映射 ， 則 ? 稱為 W 在 L 上 的 投影變換或投影算子 .若 W 是內(nèi)積空間 ， 且ML?? ， 則 ? 稱為 W 在 L 上 的 正交投影變換或正交投影算子 . 對于 W 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, ne e e… ， ，這里我們設(shè) 2 1 (1, 0, , 0)T? ? ， 2 (0,1, , 0)T? ? ，…， (0, 0, ,1)Tn? ? 取 L 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 reeL, ， L? 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1,rnee+ L .令 11()rV e e? , ， 21( , )rnV e e?? … ， 我們設(shè) V 為基 12, ne e e… ， 到基 12, ne e e… ， 的過渡矩陣，則有 12( , )V V V? .? 在基12, ne e e… ， 下的矩陣為 000rI驏 247。 ， 記 12( , , )pA … ，a a a= ，由 A 生成的列空間 12( , , )pWL … ，a a a= . 則 V 在 W 上的正交投影矩陣為 ()TTP A A A A= ． 證 d 為 V 在 W 上的正交投影算子 ， d 在 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, n… ，e e e 下的矩陣為 P ， 這里 1 (1, 0, , 0)T? ? ， 2 (0,1, , 0)T? ? ，…， (0, 0, ,1)Tn? ? . 又設(shè) dim( )Wr= ， 取 W 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 ree， … ， ， W^ 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1rnee， … ，+ ， 則 12, ne e e… ， 也是 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ， 且 d 在這組基下的 7 矩陣為 rIOOO230。 248。231。232。. 記標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, n… ，e e e 到 12, ne e e… ， 的過渡矩陣為 T ，即有 1 2 1 2( , , ) ( , , )nne e e T… ， … ，e e e= 則 1 rI OT PTOO 230。247。231。 Projection matrix。桫 ，于是 ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, ne e e… ， 下的矩陣為 11 1 2 1 1200( , )0 0 0 0 Trr TTVIIP V V V V V VV???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? 另一方面，由于 12( , )V V V? 為正交矩陣，故有 1 1 2 2TTI VV V V??，于是又有 22TP I VV?? .由此本文首先給出單一正交投影 子 的表示方法 ,如用矩陣或線性變換表示 .然后探討和分析了一類特殊的由有限個(gè)正交投 影算子 (連續(xù) 正交投影算子 )的表示方法 . 1 基本概念 定義 1[1] 矩陣 A 稱為 正交投影矩陣 ， 如果它是對稱冪等 陣，即 A 滿足 TAA? ， 2AA? . 定義 2 設(shè) V 是 n 維歐氏空間 ， ? 為 V 中 某一單位向量 ，定義線性變換( ) ( , )? ? ? ? ? ??? ，我們稱 ? 為 V 在 子空間 ?? 上 的正交投影算子 . 定義 3 V 是 n 維歐氏空間 ，其子空間有 12, , ( ),kS S S k N ??… ， i VS? i為 在 上的 正交投影變換 ，稱 12 k? ?? ?? … 為 連續(xù)正交投影算子或連續(xù)正交投影變換 . 定義 4[2] 設(shè) F 是一個(gè)數(shù)域， mnAF?? ， 若有矩陣 nmXF?? 使 AXA A? ，則X 稱為 A 的一個(gè) {1}? 逆，記為 A? . 2 定理及證明 定理 1 V 是 n 維歐氏空間 ， 1,??n… ， 為 V 的任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 . （ 1） 若 nnAR?? 為正交投影矩陣， 則存在唯一線性變換 ? 在上述基下對應(yīng)的矩陣為 A ， 且 ImV? (? ) Ker? (? ) ? 是 V 在 Im( )? 上 的正交投影變換 ； 3 （ 2） 若 ,V S T T S?? ? ?， ? 是 V 在 S 上 的正交投影變換 ， 它 在 上述基下矩陣為 A ， 則 A 為正交投影矩陣 . 證明 （ 1） 對于給定 實(shí) 矩陣 A ，存在唯一線性變換 ? 在上述基下對應(yīng)的矩陣為 A . V??? ， 令 1? ??? ， 2? ? ???? A 是冪等的知 2??? ， 于是 1 Im( )??? ， 2 ()Ker??? 且由 12? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?， 故有 Im ( )
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