【正文】 ? ?2nx 單調(diào)減少 。( ) 0fx? ,則有 ( ) ( )kf a f x? 1( ) ( )kf x f b???, 即得 12() kkf a x x b??? ? ?,也即 12kka x x b??? ? ?, 從而 當(dāng) 1nk??時(shí) ,結(jié)論成立 . 故命題 1 得證 . 命題 2 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。 ???? xxf ， 7 又由計(jì)算得 1 12x?,212131 2x ???,313251 3x ???, , 顯然 有 13xx? , 從而 根據(jù)命題 3的結(jié)論 知 ,由 1 ()nnx f x? ? 確定的 數(shù)列 {}nx 的 子列 ? ?21nx? 為單調(diào)遞增數(shù)列 ,? ?2nx 為單調(diào)遞減數(shù)列 ， 而 {}nx 不具有單調(diào)性 . 例 4[4] 設(shè) 1?? , 1x ?? ,1 1 nn nxx x?? ?? ?,（ 1,2,3,n? ） ,求證 :limnn x ??? ?. 證明 設(shè) () 1 xfx x??? ? （ 0x? ） ,則 2139。 convergence. 1 1 引言及定義 在近 期 的一些文獻(xiàn)中 ,討論了形如 1 nn nax bx cx d? ?? ?（ 0ad bc??） 的遞推數(shù)列的極限問題 [17],這類數(shù)列的極限問題經(jīng)常出現(xiàn)在研究生入學(xué)試題與大學(xué) 數(shù)學(xué)競賽 試 題中 ,在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位 . 研究結(jié)果表明 ,這類遞推數(shù)列極限的存在性與求法往往與 它的 迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián) ,該遞推數(shù)列的迭代函數(shù)為 () ax bfx cx d?? ? , 注意到 239。 當(dāng) 2 1 1()x f x x??與 2 1 1()x f x x??時(shí) ,分別在區(qū)間 1[ ,]xl 與 1[, ]lx 上應(yīng)用命題1 與命題 2,得 數(shù)列 ??nx 收斂于 不動(dòng)點(diǎn) l 。( ) 0fx? . 當(dāng) 1xl? 時(shí) , 1 nnn a x b a x a cxax c x c? ??? ? ?, 注意到 注意到 ()f l l? ,由 1xl? ? 1( ) ( )f x f l? ,即 2xl? , 進(jìn)一步有 2()fx? ()fl,即 3xl? ,? , 易用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 2na x l??. 因 而 2( ) ( ) ( )nf l f x f a??, 即 5 221n ablx ac? ????, 1,2,3,n? , 即 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 有界 ,故均收斂