一類(lèi)遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-wenkub
2022-09-01 20:25:11 本頁(yè)面
【正文】 Abstract: In this paper, the results on the monotonicity and convergence of the recursive sequence )(1 nn xfx ?? in some resent documents are given, and then, the results are generalized. Key words: recursive sequence 。( ) ()ad bcfx cx d?? ? 不變 號(hào) ,它啟發(fā)我們從 迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo) 函 數(shù)的 不變號(hào) 兩 方面考慮這類(lèi)問(wèn)題 . 本 文將給出聯(lián)系迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo) 函 數(shù)的幾個(gè)實(shí)用命題 ,把現(xiàn)行文獻(xiàn)[17]中 的 相關(guān)結(jié)論進(jìn)行拓廣 ,通過(guò)這些命題使我們可以統(tǒng)一處理有關(guān)例子 ,揭示這類(lèi)試題 的 背景與思想方法 . 定義 1 對(duì)于函數(shù) ()fx,若存在實(shí)數(shù) 0x ,使 00()f x x? ,則稱(chēng) 0x 為 ()fx的 不動(dòng)點(diǎn) . 定義 2 對(duì)于函數(shù) ()fx,若數(shù)列 ??nx 滿(mǎn)足 1xa? , 1 ()nnx f x? ? , 1,2,3,n? ,則 數(shù)列 ??nx 稱(chēng)為遞推數(shù)列 , ()fx稱(chēng)為數(shù)列 ??nx 的迭代函數(shù) , 1xa? 稱(chēng)為初始值 . 2 2 命題與證明 命題 1 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。( ) 0fx? , ()f a a? , ()f b b? .設(shè) 1xb? ,則 遞推 數(shù)列 1 ()nnx f x? ? （ 1,2,3,n? ,） 收斂 . 證明 類(lèi)似于命題 1,可 以 證 明 數(shù)列 ??nx 單調(diào) 遞 減 并 且有界 ,即 3 bxxa nn ??? ?1 ， 從而 數(shù)列 ??nx 收斂 . 注 :在命題 1,命題 2 的條件下 ,若還滿(mǎn)足“ ()fx在 [, ]ab 上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)”條件 ,易知 數(shù)列 ??nx 必收斂于該不動(dòng)點(diǎn) . 事實(shí)上 ,在滿(mǎn)足所給條件的情況下 ,由數(shù)學(xué)分析 [8]中的確界原理 及 上確界的定義 ,對(duì)于 命題 1中的數(shù)列 {}nx ,b 必為其 上確界 .任給 0?? ,按上確界的定義 ,存在數(shù)列 {}nx 中的某一項(xiàng) Nx ,使得 Nbx??? .又由 {}nx 的遞增性 ,當(dāng) nN? 時(shí)有Nnb x x?? ? ? .另一方面 ,由于 b 是 {}nx 的一個(gè)上界 ,故對(duì)一切 nx 都有 nx b b ?? ? ? .所以當(dāng) nN? 時(shí)有 nb x b??? ? ? ?,從而 limnn xb?? ?. 這為命題 1,2 的應(yīng)用提供了方便 . 命題 3 設(shè) ()fx
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