一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限(編輯修改稿)
2024-09-26 20:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 別是單調(diào)的 ,而且具有相反的單調(diào)性 . 證明 如果 13xx? ,則由 ( ) 0fx? ? ,得 1()fx 3()fx? ,即 24xx? , 于是又有 35xx? , 46xx? , 用歸納法可得奇數(shù)項(xiàng)子列 ? ?21nx? 單調(diào)增加 ,而偶數(shù)項(xiàng)子列 ? ?2nx 單調(diào)減少 。 如果 13xx? ,同理可得子列 ? ?21nx? 單調(diào)減少 ,而偶數(shù)項(xiàng)子列 ? ?2nx 單調(diào)增加 . 推論 [1] 對(duì)于遞推數(shù)列 1 nn nax bx xc? ?? ?（ ac b? , 1,2,3,n? ） , 如果 1, , ,abcx 全為正數(shù)時(shí) ,那么 數(shù)列 ??nx 收斂 ,且收斂于 l ,其中 4 2( ) 42a c a c bl ? ? ? ?? , 這里 l 是方程 ax bxxc?? ?的一個(gè)正根 . 證明 由于迭代函數(shù) () ax bfxxc?? ?的導(dǎo)數(shù)239。( ) ()ac bfx xc?? ?. 下面討論之 : （ 1） 若 0ac b?? ,則 39。( ) 0fx? . 當(dāng) 2 1 1()x f x x??時(shí) ,由于 l 是 函數(shù) ()fx唯一的一個(gè)正的不動(dòng)點(diǎn) , 因而 1xl? ,于是 nxl? 是常數(shù)列 ,故 limnn xl?? ?。 當(dāng) 2 1 1()x f x x??與 2 1 1()x f x x??時(shí) ,分別在區(qū)間 1[ ,]xl 與 1[, ]lx 上應(yīng)用命題1 與命題 2,得 數(shù)列 ??nx 收斂于 不動(dòng)點(diǎn) l 。 （ 2） 若 0ac b?? ,則 39。( ) 0fx? . 當(dāng) 1xl? 時(shí) , 1 nnn a x b a x a cxax c x c? ??? ? ?, 注意到 注意到 ()f l l? ,由 1xl? ? 1( ) ( )f x f l? ,即 2xl? , 進(jìn)一步有 2()fx? ()fl,即 3xl? ,? , 易用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 2na x l??. 因 而 2( ) ( ) ( )nf l f x f a??, 即 5 221n ablx ac? ????, 1,2,3,n? , 即 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 有界 ,故均收斂 . 且由 21 1 1 121 [ ( ) ]()n n n nnacx x x a c x ba c x b c? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? 分別考慮 n 為奇 ,偶數(shù)對(duì)此式取極限 ,得 21lim nn xl??? ?,2lim nn xl?? ?, 這里 l 是方程 2 ( ) 0x
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