一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-文庫吧資料
2024-08-29 20:25本頁面
【正文】 結(jié)論 . 解 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 分別單調(diào) ， 但 ??nx 不 具有 單調(diào) 性 ．下面證明之． 因?yàn)?數(shù)列 ??nx 的 迭代函數(shù) 為 xxf ??1 1)( ， 從而其導(dǎo)函數(shù) 0)1( 1)( 239。 當(dāng) 1xl? 時(shí) ,有 nxl? 為常數(shù)列 . 故 limnn xl?? ?. （ 3） 若 0ac b?? ,此時(shí) 1nxa? ? 為常數(shù)列 ,結(jié)論也成立 . 綜上可知結(jié)論成立 . 3 相關(guān)應(yīng)用 下面我們給出以上命題的一些應(yīng)用 . 例 1[13] 設(shè) 103x?? ,1 3( 1)3nn nxx x? ?? ?（ 1,2,3,n? ） ,求證 :數(shù)列 ??nx 收斂 ,并求其極限 . 解 數(shù)列 ??nx 的 迭代函數(shù) 3( 1)() 3xfx x ?? ? , 2639。( ) 0fx? . 當(dāng) 1xl? 時(shí) , 1 nnn a x b a x a cxax c x c? ??? ? ?, 注意到 注意到 ()f l l? ,由 1xl? ? 1( ) ( )f x f l? ,即 2xl? , 進(jìn)一步有 2()fx? ()fl,即 3xl? ,? , 易用數(shù)學(xué)歸納法證明 : 2na x l??. 因 而 2( ) ( ) ( )nf l f x f a??, 即 5 221n ablx ac? ????, 1,2,3,n? , 即 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 有界 ,故均收斂 . 且由 21 1 1 121 [ ( ) ]()n n n nnacx x x a c x ba c x b c? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? 分別考慮 n 為奇 ,偶數(shù)對(duì)此式取極限 ,得 21lim nn xl??? ?,2lim nn xl?? ?, 這里 l 是方程 2 ( ) 0x a c x b? ? ? ?的一個(gè)正根 。 當(dāng) 2 1 1()x f x x??與 2 1 1()x f x x??時(shí) ,分別在區(qū)間 1[ ,]xl 與 1[, ]lx 上應(yīng)用命題1 與命題 2,得 數(shù)列 ??nx 收斂于 不動(dòng)點(diǎn) l 。( ) ()ac bfx xc?? ?. 下面討論之 : （ 1） 若 0ac b?? ,則 39。( ) 0fx? , ()f a a? , ()f b b? .設(shè) 1xb? ,則 遞推 數(shù)列 1 ()nnx f x? ? （ 1,2,3,n? ,） 收斂 . 證明 類似于命題 1,可 以 證 明 數(shù)列 ??nx 單調(diào) 遞 減 并 且有界 ,即 3 bxxa nn ???
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1