一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-展示頁(yè)
2024-09-02 20:25本頁(yè)面
【正文】 ?1 ， 從而 數(shù)列 ??nx 收斂 . 注 :在命題 1,命題 2 的條件下 ,若還滿足“ ()fx在 [, ]ab 上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)”條件 ,易知 數(shù)列 ??nx 必收斂于該不動(dòng)點(diǎn) . 事實(shí)上 ,在滿足所給條件的情況下 ,由數(shù)學(xué)分析 [8]中的確界原理 及 上確界的定義 ,對(duì)于 命題 1中的數(shù)列 {}nx ,b 必為其 上確界 .任給 0?? ,按上確界的定義 ,存在數(shù)列 {}nx 中的某一項(xiàng) Nx ,使得 Nbx??? .又由 {}nx 的遞增性 ,當(dāng) nN? 時(shí)有Nnb x x?? ? ? .另一方面 ,由于 b 是 {}nx 的一個(gè)上界 ,故對(duì)一切 nx 都有 nx b b ?? ? ? .所以當(dāng) nN? 時(shí)有 nb x b??? ? ? ?,從而 limnn xb?? ?. 這為命題 1,2 的應(yīng)用提供了方便 . 命題 3 設(shè) ()fx在區(qū)間 I 上可導(dǎo) , ( ) 0fx? ? ,且對(duì)任意的 xI? ,有 ()f x I? .則由 1 ()nnx f x? ? , 1xI? 確定的兩個(gè)子列 ? ?21nx? 與 ? ?2nx 分別是單調(diào)的 ,而且具有相反的單調(diào)性 . 證明 如果 13xx? ,則由 ( ) 0fx? ? ,得 1()fx 3()fx? ,即 24xx? , 于是又有 35xx? , 46xx? , 用歸納法可得奇數(shù)項(xiàng)子列 ? ?21nx? 單調(diào)增加 ,而偶數(shù)項(xiàng)子列 ? ?2nx 單調(diào)減少 。( ) 0fx? ,所以 ( ) ( )f a f b? , 而 ()f b b? ,故有 12a x x b? ? ? , 從而 結(jié)論成立 . 2ο 假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí) ,結(jié)論成立 ,即 1kka x x b?? ? ?. 當(dāng) 1nk??時(shí) ,由于 39。( ) ()ad bcfx cx d?? ? 不變 號(hào) ,它啟發(fā)我們從 迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo) 函 數(shù)的 不變號(hào) 兩 方面考慮這類問(wèn)題 . 本 文將給出聯(lián)系迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo) 函 數(shù)的幾個(gè)實(shí)用命題 ,把現(xiàn)行文獻(xiàn)[17]中 的 相關(guān)結(jié)論進(jìn)行拓廣 ,通過(guò)這些命題使我們可以統(tǒng)一處理有關(guān)例子 ,揭示這類試題 的 背景與思想方法 . 定義 1 對(duì)于函數(shù) ()fx,若存在實(shí)數(shù) 0x ,使 00()f x x? ,則稱 0x 為 ()fx的 不動(dòng)點(diǎn) . 定義 2 對(duì)于函數(shù) ()fx,若數(shù)列 ??nx 滿足 1xa? , 1 ()nnx f x? ? , 1,2,3,n? ,則 數(shù)列 ??nx 稱為遞推數(shù)列 , ()fx稱為數(shù)列 ??nx 的迭代函數(shù) , 1xa? 稱為初始值 . 2 2 命題與證明 命題 1 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù)
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