一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與極限-文庫吧在線文庫
【正文】 題 2,得 數(shù)列 ??nx 收斂于 不動點 l 。( ) ()ad bcfx cx d?? ? 不變 號 ,它啟發(fā)我們從 迭代函數(shù)的不動點與導(dǎo) 函 數(shù)的 不變號 兩 方面考慮這類問題 . 本 文將給出聯(lián)系迭代函數(shù)的不動點與導(dǎo) 函 數(shù)的幾個實用命題 ,把現(xiàn)行文獻(xiàn)[17]中 的 相關(guān)結(jié)論進(jìn)行拓廣 ,通過這些命題使我們可以統(tǒng)一處理有關(guān)例子 ,揭示這類試題 的 背景與思想方法 . 定義 1 對于函數(shù) ()fx,若存在實數(shù) 0x ,使 00()f x x? ,則稱 0x 為 ()fx的 不動點 . 定義 2 對于函數(shù) ()fx,若數(shù)列 ??nx 滿足 1xa? , 1 ()nnx f x? ? , 1,2,3,n? ,則 數(shù)列 ??nx 稱為遞推數(shù)列 , ()fx稱為數(shù)列 ??nx 的迭代函數(shù) , 1xa? 稱為初始值 . 2 2 命題與證明 命題 1 設(shè) 函數(shù) ()fx在 [, ]ab 上連續(xù) ,在 (, )ab 上可導(dǎo) ,且 39。 convergence. 1 1 引言及定義 在近 期 的一些文獻(xiàn)中 ,討論了形如 1 nn nax bx cx d? ?? ?（ 0ad bc??） 的遞推數(shù)列的極限問題 [17],這類數(shù)列的極限問題經(jīng)常出現(xiàn)在研究生入學(xué)試題與大學(xué) 數(shù)學(xué)競賽 試 題中 ,在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位 . 研究結(jié)果表明 ,這類遞推數(shù)列極限的存在性與求法往往與 它的 迭代函數(shù)的不動點相關(guān)聯(lián) ,該遞推數(shù)列的迭代函數(shù)為 () ax bfx cx d?? ? , 注意到 239。( ) 0fx? . 當(dāng) 2 1 1()x f x x??時 ,由于 l 是 函數(shù) ()fx唯一的一個正的不動點 , 因而 1xl? ,于是 nxl? 是常數(shù)列 ,故 limnn xl?? ?。 ???? xxf ， 7 又由計算得 1 12x?,212131 2x ???,313251 3x ???, , 顯然 有 13xx? , 從而 根據(jù)命題 3的結(jié)論 知 ,由 1 ()nnx f x? ? 確定的 數(shù)列 {}nx 的 子列 ? ?21nx? 為單調(diào)遞增數(shù)列 ,? ?2nx 為單調(diào)遞減數(shù)列 ， 而 {}nx 不具有單調(diào)性 . 例 4[4] 設(shè) 1?? , 1x ?? ,1 1 nn nxx x?? ?? ?,（ 1,2,3,n? ） ,求證 :limnn x ??? ?. 證明 設(shè) () 1 xfx x??? ? （ 0x? ） ,則 2139。 當(dāng) 1xl? 時 ,類似可證 。( ) 0fx? ,則有 ( ) ( )kf a f x?
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