數(shù)列極限的解法(15種)-wenkub
2023-07-10 02:18:30 本頁(yè)面
【正文】 說明. 本文歸納了十五種方法.：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，有，：.否則稱為發(fā)散數(shù)列.. 證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立. 當(dāng)時(shí)，記，則，由 得，任給，則當(dāng)時(shí)，就有，即即 當(dāng) 綜上， 解： 柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.：數(shù)列為收斂數(shù)列. 證，取，當(dāng)時(shí)，有由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂.例4.（有界變差數(shù)列收斂定理）若數(shù)列滿足條件 ，則稱為有界變差數(shù)列，試證：有界變差數(shù)列一定收斂證：令那么單調(diào)遞增，由已知知有界，故收斂，從而正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有 此即由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂.注：柯西收斂準(zhǔn)則把定義中的與a的關(guān)系換成了與的關(guān)系，其優(yōu)點(diǎn)在于無需借用數(shù)列以外的數(shù)a只需根據(jù)數(shù)列本身的特征就可鑒別其斂散性.3．運(yùn)用單調(diào)有界定理 單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極.（n個(gè)根式,a0,n=1,2,）極限存在，并求.證：由假設(shè)知 （1） 用數(shù)學(xué)歸納法易證： 此即證單調(diào)遞增.用數(shù)學(xué)歸納法可證， 事實(shí)上， 由（1）（2）證得單調(diào)遞增有上界，從而存在，對(duì)（1）式兩邊取極限得 ,解得和（舍去）.4．利用迫斂性準(zhǔn)則（即兩邊夾法）迫斂性：設(shè)數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且.解：記，則 由迫斂性得=.注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用.5．利用定積分的定義計(jì)算極限黎曼積分定義：設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)，J為一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任意分割T,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要T，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)J為在上的定積分，記作.例
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