【正文】 xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x 演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg yy2 21 1o ox xx x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x 時的變化趨勢 yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x演示結束 易見當 時 1?x 21)( ??? xxf 演示暫停請稍候 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o o11)(2??? xxxgx xx x x x開始演示 1)( ?? xxf 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x正在演示 x x1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o o1)( ?? xxfx xx x演示結束 x x易見當 時有 211)( 2 ???? xxxg1?x11)(2??? xxxg 時的變化趨勢 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x 如 211lim,21lim211???????xxxxx 注意兩點 (1) 意思是 無限靠近于 ,但 , 因此 點有無極限與函數(shù)在該點有無定義毫無關系 . 0xx?x 0x0xx? 定義 : 如果存在常數(shù) A, 使得當 無限接近于 時 , 有 趨近于 A, 則稱 A為當 時函數(shù) 的極限 ,記作 Axfxx ?? )(lim00xx ?x 0x)(xf )(xf 稱 時函數(shù) 的極限為左極限 , 記作 ??0xx )(xf)(l i m0xfxx ??????????時點的右邊趨向于從當時點的左邊趨向于從當0000000 xxxxxxxxxxxx(2) 稱 時函數(shù) 的極限為右極限 ,記作 ?? 0xx )(xf)(l i m0xfxx ?? 0x)( 00xxxx???左極限 右極限 )( 00xxxx??? 解 因為 1)1(l i m)(l i m00 ???? ?? ?? xxf xx1)1(l i m)(l i m 00 ??? ?? ?? xxf xx所以極限 不存在 )(lim 0 xfx ? 定理 極限 存在的充分必要條件是左極限 和右極限 均存在 , 且都等于 )(l i m0xfxx ?? )(l i m0xfxx ??AAxfxx ?? )(l i m0 例 1 設 ????????0101)(xxxxxf)(lim 0 xfx ?討論極限 是否存在 ? (1) 唯一性 : 極限值如果存在 ,則必唯一 . 例 2 設 求 ???????1211)( 2xxxxxf )(lim1 xfx? 解 因為 所以 存在 . 2)1(lim)(lim,22l