[理學(xué)]21數(shù)列極限(參考版)
2024-12-11 00:41本頁(yè)面
【正文】 十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國(guó)， 如他在 1748年出版的 《 無(wú)窮分析引論 》 。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使 牛頓頭疼的月球運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜分析運(yùn)算。” 有一次，歐拉的兩個(gè)學(xué)生計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的 和，加到第 17 項(xiàng)時(shí)兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個(gè)單位。 歐拉具有超人的計(jì)算能力。后為了滿足父親的愿望，學(xué) 了一段時(shí)期的神學(xué)和語(yǔ)言學(xué)。 歐拉聰明早慧， 13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué) 士學(xué)位。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書(shū) 和約 400篇論文。 歐拉成就卓著。 歐拉聲譽(yù)顯赫。 歐拉 31歲時(shí)右眼失明， 59歲時(shí)雙目失明。他于 1707年生于瑞士 巴塞爾， 20年后卻永遠(yuǎn)離開(kāi)了祖國(guó)。11n n n na a b b n??? ? ?(1) 對(duì) 一 切 成 立 ；li m( ) 0 ,nnn ba?? ??(2) 例 解 11n n n na a b b??? ? ?1na ? ? 1nb ??1a ?? 1b??? ? ? ?nnaa ?數(shù) 列 單 調(diào) 增 加 ， 且 有 界 有 極 限? ? ? ?bb ?數(shù) 列 單 調(diào) 減 少 ， 且 有 界 有 極 限li m ( ) li m li m 0n n n nn n nb a b a? ? ? ? ? ?? ? ? ?則 li m li mnnnnab? ? ? ??因 此 數(shù) 列 極 限 的 概 念數(shù) 列 極 限 的 四 則 運(yùn) 算“ 不 等 式 放 大 法 ”內(nèi)容小結(jié) 數(shù) 列 極 限 的 性 質(zhì)數(shù) 列 極 限 的 收 斂 準(zhǔn) 則 。 四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則 解 2 2 21 1 1l im . 12n n n n n? ????? ? ???? ? ???求2 2 21 1 112n n n n? ? ??????2 l im 1 , nnnn? ????而 2l im 11n nn? ? ? ??由于 由 夾 逼 定 理 例 想得通吧？ 2 1nn ?2 nnn?2 2 21 1 1 l im 112n n n n n? ????? ? ? ???? ? ???2 2 21 1 112, n n n nn ? ? ??? 顯 然 時(shí) 各 項(xiàng) , 極 限 都 為 0,但 卻 不 是 個(gè) 項(xiàng) 的 和 , 不 能 使 用有 限 運(yùn) 算 法 則 !解 . ,! l i m ????? Znnn nn求 ! 1 2 3 1 0 nn n nn n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ?由 于 1. 1,3,2 均小于nnnn ?? ,00lim ,01lim ???????? nn n而 .0! lim ???? nn nn故 例 1, n2 2 212l im .nnn n n????? ? ?????求解 2 2 212, nnn n n?? 顯 然 時(shí) 各 項(xiàng) , 極 限 都 為 0,但 卻 不 是 有 限 個(gè) 項(xiàng) 的 和 , 不 能 使 用 運(yùn) 算 法 則 .2( 1 ) 122n n nnn????2 2 212l i mnnn n n????? ? ?????所 以 例 1lim2nnn???? 12?11l i m22n n??????????2 2 2 21 2 1 2 3nnn n n n? ? ? ?? ? ? ? 單調(diào)減少 有 下界 的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加 有 上界 的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限 . 12 { } , nnx x x x? ? ? ?若 滿 足 則 稱{ } , { . }nnx x ?單 調(diào) 增 加 記 為12 { } , nnx x x x? ? ? ?若 滿 足 則 稱{ } , { . }nnx x ?單 調(diào) 減 少 記 為推論： 設(shè) 證明數(shù)列 極限存在 . 證 : 利用 牛頓二項(xiàng)式 公式 , 有 nnnx )1( 1????1 nn1!1 21!2)1(nnn ??31!3 )2)(1(nnnn ??? ??nnnnnnn 1!)1()1( ???? ???? 11) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2n? ) 1( 1nn ???)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n? 例 ??? 11nx) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2n? ) 1( 1nn ???)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n????? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ??? nn ??)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?大 大 正 ),2,1(1 ??? ? nxx nn????? 11)1( 1 nnnx又 比較可知 { } .nx即 是 單 調(diào) 增 加 的每個(gè)括號(hào)小于 1 . 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列 ? ?nx通常將它記為 e,即 ennn ???? )1(li m1e 稱為歐拉常數(shù) , 其值為 ?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 ?e有極限 . ????? 11)1( 1 nnnx??? 11又 3?1213???
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