[理學(xué)]12數(shù)列極限(參考版)
2025-01-22 14:33本頁面
【正文】 單調(diào)遞增nx?!1!2111n????? ? 1212111?????? n?1213??? n .3?? ? ,有上界nx? .lim 存在nn x???en nn????)11(l i m記為?4590451 8 2 81 8 2 82 . 7?計(jì)算可得： 2112111????n)11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??由二項(xiàng)式定理，有nn nx )11( ?????????? 21!2 )1(11 nnnnnnnnnn 1!123)1( ????? ?。21?)(l i m)( nnnn ???? 12nnnn ????? 1lim1111l i m?????nn.21?例 5 求下列極限 四 . 數(shù)列收斂的判別 定理 5（ 迫斂性 或 兩邊夾定理 ） lim lim ,n n n n nnnx y z x l z? ? ? ?? ? ? ?且 .lim ly nn ???則證 ,limlim nnnn zlx ???? ??? ,0???, 11 NnNN ???? ? .?? ???? lxl n有, 22 NnNN ???? ? .?? ???? lzl n有12m ax { , },N N N?取 ,nN??nnn zyx ?????l .??? l.??? ly n即 .lim ly nn ?? ??證畢 若三個(gè)數(shù)列滿足條件 例 6 ,l i m 21n nknnn aaa ????? ?求.。l i ml i m)l i m)2(。??ax k ?? ? 12。,0 上式恒成立時(shí)當(dāng) ???? Nnq,10 時(shí)當(dāng) ?? q,lnlnqn???,)10( ?? ?.)0(1lim4 ???? aann證明例證 ,1)1 時(shí)當(dāng) ?a恒有,??? Nn.0111 ??????n a .1l i m ?? ?? nn a,1)2 時(shí)當(dāng) ?a ,1?n a則 ),0(,1 ??? nnn a ??令,11)1( nnnnnn nna ???? ????????? ?,)1(0 nan ???? ?na 1??,0?? ?.?? ,1??? an解得,Nn ??1?n a nn a ???? 1,?? N ])1([ ??a.1l i m ?? ?? nn a,0???.1lim ??? nn n同理可證：.1,1,1 ??? n bbba 則令nnbb 1??所證，由 )2綜合之，故 ,10)3 時(shí)當(dāng) ?? a1?n a 1?? n b,0?? ? ,Nn ?? ,?? N ])1([ ??b.1 ???n b從而 .??1?n a 1?? n b.1l i m ?? ?? nn a.)0(1l i m ???? aann三 . 收斂數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)算 定理 1（ 唯一性 ） .}{ 收斂，則其極限必唯一若數(shù)列nx證 ,lim ax nn ???設(shè) ,lim bx nn ???另外又設(shè)由定義 , 使得,0 21 ????? NNN?。就叫做數(shù)列，那么個(gè)確定的常數(shù)無限接近于一無限增大時(shí)，數(shù)列如果當(dāng)nnxaaxn。2 121 22 ??X為第二天截下的杖長(zhǎng)總和????。“ 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” 割圓術(shù)： 播放幻 —— 劉徽 劉 徽 (魏晉 ) 數(shù) 列 極 限 引例： 割圓術(shù)： “ 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” —— 劉徽 概念的引入 割圓術(shù)：
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