高數(shù)數(shù)列極限ppt課件-在線瀏覽
2025-03-04 16:53本頁面
【正文】 。00limlim ?? ???? nnn q則,10 ?? q若上 下 15 二、收斂數(shù)列的性質(zhì) 【 定理 1】 收斂的數(shù)列極限唯一 . 證： ,lim,lim bxaxnnnn ?? ???? 又設(shè)由定義 , 使得.,0 21 NN??? ?。2 ???? bxNn n時(shí)恒有當(dāng)? ? ,m ax 21 NNN ?取時(shí)有則當(dāng) Nn ?22nb a b axb??? ? ? ?矛盾 . ab?不 妨 設(shè)2ba? ??及22nb a b axa??? ? ? ?2baxn??2baxn??故收斂數(shù)列極限唯一 . 上 下 16 二、收斂數(shù)列的性質(zhì) 【 定理 2】 收斂的數(shù)列必定有界 . 證： ,lim axnn ???設(shè) 由定義 , ,1??對(duì)于,1,0 ????? axNnN n時(shí)恒有使得當(dāng)則aaxx nn ???即有},1,m a x { 1 axxM N ?? ?記, Mxn n ?皆有則對(duì)一切自然數(shù) ? ? .有界故 nx注意 ： 有界是數(shù)列收斂的 必要條件 . 逆否命題？ 推論 無界數(shù)列必定發(fā)散 . aax n ??? a?? 1此性質(zhì)反過來不一定成立 . ? ?1)1( ?? n雖有界但不收斂 . 上 下 17 二 、收斂數(shù)列的性質(zhì) 【 定理 3】 如果 且 (或 )，那么存在正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，都有 (或 ) . ,lim axnn ???Nn?0?N0?a0?nx0?nx0?a0,a?證明：設(shè) 由數(shù)列極限的定義，對(duì) 2a??存在正整數(shù) 0?N Nn?當(dāng) 時(shí)有 ,2aax n ?? 或 ,22 aaxa n ????即 nxaaa ????220上 下 18 二 、收斂數(shù)列的性質(zhì) 【 推論 】 如果數(shù)列 從某項(xiàng)起有 (或 ) ，且 那么 (或 ) ,lim axnn ???0?nx 0?nx? ?nx0?a 0?a【 定理 3】 如果 且 (或 )，那么存在正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，都有 (或 ) . Nn?0?N0?a0?nx0?nx0?a,lim axnn ???證明：不妨設(shè) 時(shí)， 1Nn? 0?nx用反證法 若 0?a 由定理 3知存在 N2， 當(dāng) 時(shí)， 2Nn? 有 0?nx取 ? ?21 ,m a x NNN ?當(dāng) 時(shí) Nn?即有 0,nx ? 矛盾 . 0?nx又有 0?a故必有 上 下 19 二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)
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