[理學]21數(shù)列極限-在線瀏覽
2025-01-25 00:41本頁面
【正文】 或 當 時 的 ， 記 作 ( 時 ), { }nax如 不 存 在 這 樣 的 常 數(shù) 則 稱 數(shù) 列 發(fā) 散 不 收， 或 斂 ， 也 可lim nn x??以 說 極 限 不 存 在 。( ) , , , , , n1 1 1 12 2 4 8 2 12 n??????數(shù)列 無限接近于0 。( ) , , , , ,nn ?1 2 35 2 3 4 1nn??????+1數(shù)列 無限接近1 。 注意： 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 . 0 , ,N? ? ? ?幾 何 意 義 ： 使得 N 項以后的所有項 ??, 321 ??? NNN xxx都落在 a 點的 ε鄰域 內(nèi)),( ?? ?? aa因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的 有限個 點 觀察下列的通項變化趨勢，寫出它們的極限 21 1 1( 1 ) 2 1 ( 1 ) ? ? ? ? ? ? nnx x x xn n nn n n。 l i m l i m 2 2 。 l i m l i m ( 3 ) 3.nnn n n nnnnn n n nxxnnxxn? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ????? (2) (4)通過以上例題，可以推得以下結論 ： 1( 1 ) l im 0 , ( 0) 。?? ??nn qq( 3 ) l im , ( ) .?? ?n c c c 為常數(shù)? ? ? ? l im l imnn nnnn xx a y by ? ? ? ?設 有 數(shù) 列 和 , 且 = , = , 則( 1 ) l im l im l im? ? ? ? ? ?? ? ?n n n nn n nx y x y a b ( ) = =( 2 ) l im( ) l im , ( ) 。? ? ? ? ? ???n n n nn n nx y x y a bl im( 4) l im , ( ) .li0mnnnnnn nbxx ay y b??????? ??可以推廣到有限項！ 二、數(shù)列極限的四則運算 無限項？ 不能 ! l im 5 , l im 2 , l im 3 。 l im 3 。?lim2?? nny1。 l im .2nnnnn n n? ? ? ?????? ? ??? ??? (2)解 13( 1 ) l i m 1 2?? ??? ? ?????n n n 2l im ( 1) l im l im? ? ? ? ? ?? ? ? ?n n nnn1321 0 3 l im??? ? ? ? n n1 =1。kkkkijllnlla n a n a k l a b i kb n b n b??????? ? ? ?? ? ? 其 中 為 正 整 數(shù)0 , 1 , , ) , 0 , 0 .klj l a b? ? ?都 是 常 數(shù) 且1 1 1( 3 ) lim ( ) 。25nnnnn????? 若數(shù)列 { xn }收斂 , 則其極限值必唯一 . 三、數(shù)列極限的性質(zhì) { } li m , li m ,n n nnnx x a x b? ? ? ???即 若 數(shù) 列 收 斂 ， 且 和則 ab? P 29 性 質(zhì) 本 、 唯一性定理的推論 lim nn xa?? ?}{ nx 的任何一個子數(shù)列都收斂 , 且均以 a 為極限 . 充分必要條件 何 謂 子 數(shù) 列 ？ 在數(shù)列 {xn}: x1 , x2 , ? , xn , ? 中 , 保持各項原來的先后次序不變 ,自左往右任意選取無窮多項所構成的新的數(shù)列 ,稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列 ， 記為 }.{knx 例 .)1(l i m 1???? ? nn求解 ,)1( 1??? nnx . ,)1( , ,1 ,1 ,1 ,1 :}{ 1 ?? ???? nnx取子數(shù)列： ,)1( , 1, 1, 1, :}{ 1)1(212 ?? ??? ? nnx ,)1( , 1, 1, 1, :}{ 122 ?? ????? nnx ,1)1(limlim ,11limlim 212 ?????? ????????????? nnnnnn xx而 . )1(l i m 1 不存在故 ???? ? nn 唯一性定理的推論往往用來 證明 或 判斷 數(shù)列極限不存在 ． 發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列 例 . } 8s i n {}{ 的斂散性判別 ?nx n ?解 利用函數(shù)的周期性 , 在 { xn }中取兩個子數(shù)列 : 得子數(shù)列：令 , ,8 )1( Nkkn ???? ,s i n , ,2s i n ,s i n :}{ s i n} 8s i n { ????? kkn ? .00l i ms i nl i m , ,0s i n ???? ?????? nn kNkk ?? 所以由于得子數(shù)列：令 , ,416 )2( Nkkn ????? ),22s i n (,25s i n :} )2s i n ( 2 {} 8s i n { ?????? ??? kkn .11lim)22s i n (lim ????????? nnk ??此時 . )( } 8s i n { : 即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知 ?n2. 有界性定理 若數(shù)列
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