微積分?jǐn)?shù)列的極限ppt課件-在線瀏覽
2025-06-16 00:54本頁面
【正文】 a??aN n).(nfx n ???a??a數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 . 例 1 .1)1(lim1?????? nn nn證明證 1?nx 1)1( 1 ???? ?nn nn1?,0??任給 ,1 ???nx要 ,1 ??n只要,1??n即所以 , ],1[??N取 ,時(shí)則當(dāng) Nn ???????1)1(1nn n就有 .1)1(lim 1 ??? ??? nn nn即注意： 例 2 .lim),( CxCCx nnn ?? ??證明為常數(shù)設(shè)證 Cxn ? CC ?? ,成立??,0??任給所以 , 0?,n對于一切自然數(shù).l i m Cx nn ???說明 : 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù) . 小結(jié) : 用定義證數(shù)列極限存在時(shí) ,關(guān)鍵是任意給定 尋找 N,但不必要求最小的 N. ,0??例 3 .1,0lim ???? qq nn 其中證明證 ,0??任給,0 ???? nn qx ,lnln ??n],lnln[ qN ??取 ,時(shí)則當(dāng) Nn ?,0 ???nq就有 .0li m ?? ?? nn q,0?q若 。1?? n nx n數(shù)列 .2 nnx ?數(shù)列數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx 都落在閉區(qū)間],[ MM? 上 .有界 無界 定理 1 收斂的數(shù)列必定有界 . 證 ,l i m ax nn ???設(shè) 由定義 , ,1??取,1, ???? axNnN n時(shí)恒有使得當(dāng)則.11 ???? axa n即有},1,1,m a x { 1 ??? aaxxM N?記, Mxn n ?皆有則對一切自然數(shù) ? ? .有界故 nx注意： 有界性是數(shù)列收斂的必要條件 . 推論 無界數(shù)列必定發(fā)散 . 定理 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限 . 證 ,lim,lim bxax nnnn ?? ???? 又設(shè) 由定義 , 使得.,0 21 NN???? 。22 ???? bxNn n時(shí)恒有當(dāng) ? ? ,m a x 21 NNN ?取時(shí)有則當(dāng) Nn ? )()( axbxba nn ?????axbx nn ???? .22 ??????.時(shí)才能成立上式僅當(dāng) ba ?故收斂數(shù)列極限唯一 . 例 5
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