[理學(xué)]21數(shù)列極限(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-01-08 00:41:35 本頁(yè)面
【正文】 在 . 無(wú)界數(shù)列必發(fā)散 . 例 ,2 , ,8 ,4 ,2:}2{ ?? nn ,8 ,0 ,4 ,0 :}))1(1({ ?nn ??無(wú)極限發(fā)散無(wú)界 ,無(wú)極限發(fā)散無(wú)界 ,發(fā)散的數(shù)列不一定都無(wú)界 . 例如 , { (－ 1) n } . 收斂的數(shù)列必有界 . 有界的數(shù)列不一定收斂 . 無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界 . 1: ( ) . nnx ??反 例 l im , ( 0 ) , 0 ,0 ? ? ? ? ? ? ??nn x a a Na若則 , ( 0 . 0 ) ?? ?n nxn N x當(dāng) 時(shí) 有 ( 0 0 ) ,nnx x ??若保號(hào)性定理的推論 1： , l i m 存在且 ax nn ????0 ( 0) . a a? ?則 這里為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí) 此處仍是不嚴(yán)格不等號(hào) 保號(hào)性定理的推論 2： 00 ( ) ( 0 , ) , ? ? ? ? ??n nnn x y n N Nx nNy若 或 當(dāng) 時(shí)則存在且 , lim ,lim byax nnnn ?? ?????? ( l im l im ) .l im l im ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?nnnn nnnna x y ba x y b 在極限存在的前提下 , 對(duì)不等式兩邊可以同 時(shí)取極限 , 不等號(hào)的 方向不變 , 但 嚴(yán)格不等號(hào) 也 要改為 不嚴(yán)格不等號(hào) . 1. 夾逼定理 (兩邊夾定理 ) 設(shè)數(shù)列 { xn}, { yn}, { zn} 滿足下列關(guān)系 : (2) ,l i ml i m azy nnnn ?? ??????則 ax nn ????lim(1) yn ? xn ? zn , n ? Z+ (或 從某一項(xiàng) 開(kāi)始 ) 。 四、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則 解 2 2 21 1 1l im . 12n n n n n? ????? ? ???? ? ???求2 2 21 1 112n n n n? ? ??????2 l im 1 , nnnn? ????而 2l im 11n nn? ? ? ??由于 由 夾 逼 定 理 例 想得通吧？ 2 1nn ?2 nnn?2 2 21 1 1 l im 112n n n n n? ????? ? ? ???? ? ???2 2 21 1 112, n n n nn ? ? ??? 顯 然 時(shí) 各 項(xiàng) , 極 限 都 為 0,但 卻 不 是 個(gè) 項(xiàng) 的 和 , 不 能 使 用有 限 運(yùn) 算 法 則 !解 . ,! l i m ????? Znnn nn求 ! 1 2 3 1 0 nn n nn n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ?由 于 1. 1,3,2 均小于nnnn ?? ,00lim ,01lim ???????? nn n而 .0! lim ???? nn nn故 例 1, n2 2 212l im .nnn n n????? ? ?????求解 2 2 212, nnn n n?? 顯 然 時(shí) 各 項(xiàng) , 極 限 都 為 0,但 卻 不 是 有 限 個(gè) 項(xiàng) 的 和 , 不 能 使 用 運(yùn) 算 法 則 .2( 1 ) 122n n nnn????2 2 212l i mnnn n n????? ? ?????所 以 例 1lim2nnn???? 12?11l i m22n n??????????2 2 2 21 2 1 2 3nnn n n n? ? ? ?? ? ? ? 單調(diào)減少 有 下界 的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加 有 上界 的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限 . 12 { } , nnx x x x? ? ? ?若 滿 足 則 稱{ } , { . }nnx x ?單 調(diào) 增 加 記 為12 { } , nnx x x x? ? ? ?若 滿 足 則 稱{ } , { . }nnx x ?單 調(diào) 減 少 記 為推論： 設(shè) 證明數(shù)列 極限存在 . 證 : 利用 牛頓二項(xiàng)式 公式 , 有 nnnx )1( 1????1 nn1!1 21!2)1(nnn ??31!3 )2)(1(nnnn ??? ??nnnnnnn 1!)1()1( ???? ???? 11) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2n? ) 1( 1nn ???)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n? 例 ??? 11nx) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2n? ) 1( 1nn ???)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n????? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ??? nn ??)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?大 大 正 ),2,1(1 ??? ? nxx nn????? 11)1( 1 nnnx又 比較可知 { } .nx即 是 單 調(diào) 增 加 的每個(gè)括號(hào)小于 1 . 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列 ? ?nx通常將它記為
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