初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念-在線瀏覽
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【正文】 1 , ,43 ,32 ,21 :1 )4( ??????? ? n nn n .) 1 ( ,1 ???????? ? Mn n 可取有界xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … ?? ,2 , ,8 ,4 ,2 :}2{ )5( nn ). 2 ( ,}2{ ?? nn x但下方有界：無界 有些數(shù)列雖然無界 , 但它或者是下方有 界的 , 或者是上方有界的 . 若 xn ? M , M?R , 則稱 { xn} 有上界 . 若 xn ? m , m?R， 則稱 { xn} 有下界 . { xn}: 有界 ?? 既有上界 又有下界 . . * || *,* }, || |,| ma x {* , MxMxMmMMMxmnnn???????即則取 , }{ 的所有上界中的最小者數(shù)列 nx .s u p , nx記為稱為數(shù)列的上確界 , }{ 下界中的最大者的所有數(shù)列 nx .i n f , nx記為稱為數(shù)列的下確界 一個數(shù)列有界 (有上界 , 有下界 ), 則必有 無窮多個界 (上界 , 下界 ). , ,0 0 使得至少存在一個若對 nM ?? . }{ , || 0 是無界的則稱數(shù)列成立 nn xMx ? 現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界性： , , || ,0 成立使得若 ????? ZnMxM n . }{ 有界則稱數(shù)列 nx 首先看有界性定義的關(guān)鍵所在 使不等式不成立 若有一個 0n 這么辦？M對所有的 例 3 . }2{ 是無界的證明數(shù)列 n證 . || ,0 , 00 MxnM n ??? 使找一個即要對證無界,)1 ( l og , |2| 2 ??? MMnMn 不妨設(shè)則令 .|2| |2| , l og ,1 20 l og20 MMnM Mn ????? 時當取, 01 ??? M ,0l og1][ l og ,1][ l og 2220 ????? MMMn 則取. |2| |2| |2| || 2200 l o g1][l o g Mx MMnn ???? ? . }2{ 是無界的由定義可知數(shù)列 n二、數(shù)列的極限 ?n21??? nn)1(1?? 1n n0 0 1 , 時無限增大當由前面我們看到： n 極限描述的是變量的變化趨勢 . 討論數(shù)列 ?????? ?nn10)1( 當 n 無限增大時的變化趨勢 . 容易看出 : 當 n 無限增大時 , . 10 )1( 無限地趨近于零nn?101?3101?12101?? n n210121014101x1 x3 x2n1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) )* ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? 1??0??? )1 ,0(U) ,0(U ?中了以后的所有項就都落在從某一項開始)U (0, , ,0?? ??“ n 無限增大 ” 記為 n ? ?. 此時稱數(shù)列 ?????? ??nnnx 10)1(}{ 當 n ? ? 時以零為 極限 , 記為： .010 )1(l i m ????? nnn這就是該數(shù)列的變化趨勢 . 010 )1( 0 10 )1( ??? nnnn”記為無限地接近于“的圖上看 , ?????? ??nnnx 10)1(}{ 從數(shù)列 101?3101?12101?? n n210121014101x1 x3 x2n1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) )* ??? ??? ???? ??????? ??? ??? ??? 一般化表示： n ? ? 時 , xn ? a .
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