【正文】 ；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法（又分為 法和 法）例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等.典型例題例1. 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=。 (3)y=.解：（1）由題意得化簡得即故函數(shù)的定義域為{x|x＜0且x≠1}.（2）由題意可得解得故函數(shù)的定義域為{x|≤x≤且x≠177。 (2)y=+(5x4)0。解：（1）由得所以3＜x＜2且x≠1.故所求函數(shù)的定義域為（3，1）∪(1,2).（2）由得∴函數(shù)的定義域為（3）由,得借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為例2. 設函數(shù)y=f(x)的定義域為［0，1］，求下列函數(shù)的定義域.（1）y=f(3x)。(3)y=f(。②當即≤a≤0時，定義域為［a,1+a］.綜上所述：當0≤a≤時，定義域為［a，1a］；當≤a≤0時，定義域為［a，1+a］.變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a) (3)y=.解：（1）方法一 （配方法）∵y=1而∴0＜∴∴值域為.方法二 （判別式法）由y=得(y1)∵y=1時,∵R，∴必須=(1y)24y(y1)≥0.∴∵∴函數(shù)的值域為.（2）方法一 （單調(diào)性法）定義域，函數(shù)y=x,y=均在上遞增，故y≤∴函數(shù)的值域為.方法二 （換元法）令=t,則t≥0，且x=∴y=（t+1）2+1≤（t≥0）,∴y∈（∞，］.（3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得1＜y＜1.∴函數(shù)的值域為{y|1＜y＜1}.變式訓練3：求下列函數(shù)的值域：（1）y=?！?≤y≤即函數(shù)的值域為.例4．若函數(shù)f（x）=x2x+a的定義域和值域均為［1，b］（b＞1），求a、b的值.解：∵f（x）=(x1)2+a. ∴其對稱軸為x=1，即［1，b］為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.∴f（x）min=f（1）=a=1 ①f（x）max=f（b）=b2b+a=b ②由①②解得 變式訓練4：已知函數(shù)f(x)=x24ax+2a+6 (x∈R).（1）求函數(shù)的值域為［0，+∞)時的a的值；（2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù)f(a)=2a|a+3|的值域.解： (1）∵函數(shù)的值域為［0，+∞),∴Δ=16a24(2a+6)=02a2a3=0∴a=1或a=.（2）對一切x∈R，函數(shù)值均非負,∴Δ=8(2a2a3)≤01≤a≤,∴a+3＞0,∴f(a)=2a(a+3)=a23a+2=(a+)2+(a).∵二次函數(shù)f(a)在上單調(diào)遞減，∴f（a）min=f=，f（a）max=f（1）=4，∴f(a)的值域為.小結歸納1．求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.2．求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.第3課時 函數(shù)的單調(diào)性基礎過關一、單調(diào)性1．定義：如果函數(shù)y＝f (x)對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xx2，當xx2時，①都有 ，則稱f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 ；②都有 ，則稱f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 .若函數(shù)f(x)在整個定義域l內(nèi)只有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則f(x)稱為 .2．判斷單調(diào)性的方法：(1) 定義法，其步驟為：① ；② ；③ .(2) 導數(shù)法，若函數(shù)y＝f (x)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導，①若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若 ，則f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).二、單調(diào)性的有關結論1．若f (x), g(x)均為增(減)函數(shù)，則f (x)＋g(x) 函數(shù)；2．若f (x)為增(減)函數(shù)，則－f (x)為 ；3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的單調(diào)性；4．復合函數(shù)y＝f [g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f (x)與g(x)的單調(diào)相同，則f [g(x)]為 ，若f (x), g(x)的單調(diào)性相反，則f [g(x)]為 .5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性 .典型例題例1. 已知函數(shù)f(x)=ax+ (a＞1)，證明：函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù).證明 方法一 任取x1,x2∈(1,+∞),不妨設x1＜x2,則x2x1＞0, ＞1且＞0,∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴＞0,于是f(x2)f(x1)=+＞0,故函數(shù)f(x)在（1,+∞）上為增函數(shù).方法二 f(x)=ax+1(a＞1),求導數(shù)得=axlna+,∵a＞1,∴當x＞1時，axlna＞0,＞0,＞0在（1，+∞）上恒成立，則f(x)在（1,+∞）上為增函數(shù).方法三 ∵a＞1,∴y=ax為增函數(shù)，又y=，在（1，+∞）上也是增函數(shù).∴y=ax+在（1，+∞）上為增函數(shù).變式訓練1：討論函數(shù)f（x）=x+（a＞0）的單調(diào)性.解：方法一 顯然f（x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，設x1＞x2＞0,則f(x1)f(x2) =（x1+）（x2+）=(x1x2)當x＞或x＜時，＞0∴f（x）分別在（，+∞）、（∞，］上是增函數(shù).同理0＜x＜或＜x＜0時，＜0即f（x）分別在（0，］、［，0）上是減函數(shù).例2. 判斷函數(shù)f(x)=在定義域上的單調(diào)性.解： 函數(shù)的定義域為{x|x≤1或x≥1},則f(x)= ,可分解成兩個簡單函數(shù).f(x)= =≥1時，u(x)為增函數(shù)，為增函數(shù).∴f（x）=在［1，+∞)≤1時，u（x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，∴f(x)=在（∞,1］上為減函數(shù).變式訓練2：求函數(shù)y=（4xx2）的單調(diào)區(qū)間.解： 由4xx2＞0，得函數(shù)的定義域是（0，4）.令t=4xx2，則y=t.∵t=4xx2=（x2）2+4，∴t=4xx2的單調(diào)減區(qū)間是［2，4），增區(qū)間是（0，2］.又y=t在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴函數(shù)y=（4xx2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，2］，單調(diào)增區(qū)間是［2，4).例3. 求下列函數(shù)的最值與值域：（1）y=4。(3)y=.解：（1）由3+2xx2≥0得函數(shù)定義域為［1，3］，又t=3+2xx2=4(x1)2.∴t∈［0，4］，∈［0，2］，從而，當x=1時，ymin=2，當x=1或x=3時，ymax=［2，4］. (2)方法一 函數(shù)y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關于原點對稱,故只討論x＞0時,即可知x＜0時的最值.∴當x＞0時,y=x+≥2=4，等號當且僅當x=＜0時，y≤4,等號當且僅當x=（∞，4］∪［4，+∞），無最值.方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,因為f(x1)f(x2)=x1+(x2+)=所以當x≤2或x≥2時，f(x)遞增,當2＜x＜0或0＜x＜2時，f(x)遞減.故x=2時，f(x)最大值=f(2)=4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函數(shù)的值域為（∞，4］∪［4，+∞），無最大（小）值.（3）將函數(shù)式變形為y=,可視為動點M（x,0）與定點A（0，1）、B（2，2）距離之和，連結AB，則直線AB與x軸的交點（橫坐標）即為所求的最小值點.ymin=|AB|=，可求得x=時，ymin=.［，+∞）.變式訓練3：在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf（x）=f（x+1）f（x）.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x（x＞0）臺的收入函數(shù)為R（x）=3 000x20x2 (單位：元)，其成本函數(shù)為C（x）=500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差.（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？解：（1）P（x）=R（x）C（x）=（3 000x20x2）（500x+4 000）=20x2+2 500x4 000（x∈［1，100］且x∈N,）MP（x）=P（x+1）P（x）=20（x+1）2+2 500（x+1）4 000（20x2+2 500x4 000）=2 48040x （x∈［1，100］且x∈N）.（2）P（x）=20(x2+74 125，當x=62或63時，P(x)max=74 120（元）.因為MP（x）=2 48040x是減函數(shù)，所以當x=1時，MP(x)max=2 440(元）.因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值.例4．（2009(2)f(x)=log2(x+) (x∈R)。1,即f(x)的定義域是{1，1}.∵f（1）=0，f(1)=0,∴f(1)=f(1),f(1)=f(1),故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）方法一 易知f(x)的定義域為R，又∵f(x)=log2［x+］=log2=log2(x+)=f(x),∴f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域為R，又∵f（x）+f（x）=log2［x+］+log2(x+)=log21=0,即f(x)=f(x),∴f(x)為奇函數(shù).（3）由|x2|＞0，得x≠2.∴f（x）的定義域{x|x≠2}關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).變式訓練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=（x2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由≥0，得定義域為［2，2），關于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).（2）由得定義域為（1，0）∪（0，1）.這時f（x）=.∵f（x）=∴f（x）為偶函數(shù).（3）x＜1時，f（x）=x+2，x＞1,∴f（x）=（x）+2=x+2=f（x）.x＞1時，f（x）=x+2，x＜1，f(x)=x+2=f(x).1≤x≤1時，f（x）=0，1≤x≤1,f（x）=0=f（x）.∴對定義域內(nèi)的每個x都有f（x）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù).例2 已知函數(shù)f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=,試求f(x)在區(qū)間［2，6］上的最值.（1）證明： ∵函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=x,∴f(0)=f(x)+f(x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（x）=0，得f(x)=f(x),∴f(x)為奇函數(shù).（2）解：方法一 設x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,∴f(x+y)f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，∴f（x）在（∞,+∞）上是減函數(shù).∴f（2）為最大值，f(6)為最小值.∵f(1)=,∴f(2)=f(2)=2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=3.∴所求f(x)在區(qū)間［2，6］上的最大值為1，最小值為3.方法二 設x1＜x2,且x1,x2∈R.則f(x2x1)=f［x2+(x1)］=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1).∵x2x1＞0,∴f(x2x1)＜0.∴f(x2)f(x1)＜(