[理學(xué)]12數(shù)列極限-在線瀏覽
2025-03-08 14:33本頁面
【正文】 { 必有界收斂，則若數(shù)列 nn xx.,0 MxNnM n ????? ? 有，即反之不然！ .})1{(: 有界但它卻發(fā)散例如 n?證 ,lim ax nn ???設(shè)由定義 , ,1??對,1, ??????? ? axNnNN n則aaxx nn ???從而 aax n ??? .1 a??},1,m a x { 1 ?? axxM N?令., MxNn n ??? ? 有則.,0}{ MxNnMx MnMn ?????? ? 有無界.}{}{2 發(fā)散無界，則若數(shù)列定理 nn xx?,5,41,3,21,1:}{ 1)1( 無界例如 ??? nn .它發(fā)散?證畢 子數(shù)列的概念 中從在數(shù)列 ?? ,:}{ 21 nn xxxx定義 左向右 任意 選取 無窮多項 ，并按它們在原數(shù) 列中的次序排成一個 新的數(shù)列 ，表為： ?? ,:}{ 21 kk nnnn xxxx?? ?????? ?? 121, kkk nnnnNn 且其中：的一個子數(shù)列，為則稱 }{}{ nn xx k 簡稱 子列 . .}{}{項中是第數(shù)列項，在原中的第在子列表示knnnknxkxxnkk又子列是按它們在 成的，原數(shù)列中的次序排列而??? 21 nn即 ???? ? 1kk nn .kn k ?故有特別，若選取 ,12 ???? Nkkn k?? ,:}{ 123112 ?? kk xxxx的奇子數(shù)列；稱為 }{ nx有若選取 ,2 ??? Nkkn k?? ,:}{ 2422 kk xxxx.}{ 的偶子數(shù)列稱為 nx???? ax knklim ,0 KkNK ?????? ??.???? ax kn定理 3 ?axn 收斂于數(shù)列 }{ 的任一子列}{ nx.}{ ax kn 都收斂于證 )?,lim ax nn ???? ,0?? ? ,??? NN.?????? axNn n ，由于 kn k ?,NK ?取 ,NKk ???則 ,Nkn k ??必有.???? ax kn .lim axknk ???即)? .顯然 證畢 推論 1 的某一個子列發(fā)散若 }{nx 或某兩個子列都收斂但極限不相等， .}{ 發(fā)散則 nx推論 2 ???? ax nnlim .l i ml i m 212 axx kkkk ?? ?????證 )? .3 ，顯然成立由定理)? ,l i ml i m212 axx kkkk ?? ?????? ,0?? ?, 11 KkNK ???? ? .12 ???? ? ax k, 22 KkNK ???? ? .2 ???? ax k,}2,12m a x { 21 KKN ??取 ,Nn ??,12 時當(dāng) ?? kn ,1212 1 ??? Kk,1Kk ?? axn ??,2 時當(dāng) kn ? ,22 2Kk ? ,2Kk ??ax n ??證畢 .lim ax nn ?? ??。??ax k ?? 2.??? ax n故定理 4（ 四則運算 ） 則，若 ,l i ml i m byax nnnn ?? ????).0(l i ml i ml i m)3(。l i ml i m)l i m1???????????????????????????????bbayxyxbayxyxbayxyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（（）（（證明略）注意 : 四則運算只對 有限 個 收斂 數(shù)列而言，否則不能用 . )21(lim: 222 nnnnn??????例如,lim2lim1lim 222 nnnnnnn ?????????? ?000 ???? ? .0?無窮多個收斂 數(shù)列 這是錯誤的 . )2
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