數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 .nnx a nn因 此 , ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、柯西收斂準(zhǔn)則 定理 數(shù)列 }{ na 收斂的充要條件是 : 0 , ,N n m N? ??對(duì)于任意正數(shù) ，存在 ，當(dāng) 時(shí) 有.nmaa ???柯西準(zhǔn)則的充要條件可用另一種形式表達(dá)為： 滿足上述條件的數(shù)列稱(chēng)為 柯西列 . | | .n n paa ????0 , 0 ,N n N?? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意 +N,p ? 均有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 時(shí) , 有 | | ,2naA ???| | .2maA ???.22n m n ma a a A a A ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?l i m . 0,nn aA ??? ? ??設(shè) 由極限定義，證 此這里僅給出必要性的證明 . 由此推得 柯西 ( Cauchy,. 1789－ 1857 ,法國(guó) ) , ( , )n m N n m N??當(dāng)或0,N??由于該定理充分性的證明需要進(jìn)一步的知識(shí)，因 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 001 1 11 2 2nmxx N N N? ? ? ? ???NNN 212121 ???? ?0.??由柯西收斂準(zhǔn)則的否定陳述 , 可知 }{ nx 發(fā)散 . 發(fā)散 . 111 , 1 , 2 , .3nxn n? ? ? ? ?設(shè) 證明 {}nx例 5 證 取 ，210 ?? 000 , , 2 ,N n N m N? ? ? ? ?使得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1si n ( 1 ) si n22nm mnxx ??? ? ? ?12s in 1 s in 2 s in , 1 , 2 , .2 2 2n nnxn? ? ? ? ?設(shè)例 6 { } .nx 收斂求證 l og0 , ,l og 2N?? ?? ? ? ?證 ,n m N??當(dāng) 時(shí) 有11122mn?? ? ? 111 1 1( 1 )2 2 2m n m? ? ?? ? ? ?121( 1 )22m n m????12 m??? {} .nx? 收斂返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 1: , 1 , 2, ,nnna a r n? ? ? ?設(shè) 數(shù) 列 滿 足 條 件( 0 , 1 ) . { nra?其 中 求 證 } 收 斂 .1 1 2 1n m n n n n m ma a a a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?證 ,nm?若 則11 .11n m nn n m r r rr r rrr?? ?? ? ? ? ? ???l i m 0, 0, , ,1nnr N n Nr ??? ? ? ? ? ??由 于 于 是.1nrr ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,m n N??若 就 有.1nnmraar ?? ? ??{ na由 柯 西 準(zhǔn) 則 ,} 收 斂 .返回 后頁(yè) 前頁(yè) 論上特別有用 , 大家將會(huì)逐漸體會(huì)到它的重要性 . 2. 試給出 { an }不是柯西列的正面陳述 . 1. 對(duì)于數(shù)列是否收斂的各種判別法加以總結(jié) . 復(fù)習(xí)思考題 注 柯西收斂準(zhǔn)則的意義在于 : 可以根據(jù)數(shù)列通 項(xiàng)本身的特征來(lái)判斷該數(shù)列是否收斂 , 而不必依 賴于極限定義中的那個(gè)極限值 A. 這一特點(diǎn)在理 。 3 數(shù)列極限存在的條件 一、單調(diào)有界定理 下面就極限存在性問(wèn)題 , 介紹兩個(gè)重要定理 . 二、柯西收斂準(zhǔn)則 理論中占有非常重要的地位 . 極限 ? 其中 , 判斷數(shù)列是否收斂 , 這在極限 即極限的存在性問(wèn)題 。n n n nn n na b a b? ? ? ? ? ?? ? ?(2) ? ? ,l i ml i ml i m nnnnnnn baba ?????? ???當(dāng) nb 為常數(shù) c 時(shí) , 。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、惟一性 167。naa ?? ?2 .nn N b a ?? ? ?當(dāng) 時(shí), ,}m ax{ 2,1,0 NNNN ?取.?? ??????? abcaaNn nnn時(shí)，當(dāng) 這就證得 滿足 : 存在 , 00 nnn bcaNnN ??? 有時(shí)當(dāng) 則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 2 求數(shù)列 }{ n n 的極限 . ? ? ,22 )1()1( 2 ????? nhnnhn nnn,1121l i m1l i m ?????????? ???? nnn所以由迫斂性，求得 .1l i m ???nn n.lim ac nn ???.12111 ?????? nhn nn故 又因 解 1 0 ,nnhn? ? ?設(shè)則有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 六、四則運(yùn)算法則 定理 為收斂數(shù)列，與若 }{}{ nn ba },{ nn ba ?則 (1) ? ?li m li m li m 。21kkka k?? ? ? ?? ? ? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) ？ 5的證法 ,證明： {} na若 為 正 有 界 數(shù) 列 ， 則12lim sup { } .n n n nnnn a a a a?? ? ? ? ?復(fù)習(xí)思考題 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 學(xué)過(guò)數(shù)列極限概念后，自然會(huì)產(chǎn)生兩個(gè) 1
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