【正文】 naa ?? ?2 .nn N b a ?? ? ?當(dāng) 時(shí), ,}m ax{ 2,1,0 NNNN ?取.?? ??????? abcaaNn nnn時(shí)，當(dāng) 這就證得 滿足 : 存在 , 00 nnn bcaNnN ??? 有時(shí)當(dāng) 則 返回 后頁 前頁 例 2 求數(shù)列 }{ n n 的極限 . ? ? ,22 )1()1( 2 ????? nhnnhn nnn,1121l i m1l i m ?????????? ???? nnn所以由迫斂性，求得 .1l i m ???nn n.lim ac nn ???.12111 ?????? nhn nn故 又因 解 1 0 ,nnhn? ? ?設(shè)則有 返回 后頁 前頁 六、四則運(yùn)算法則 定理 為收斂數(shù)列，與若 }{}{ nn ba },{ nn ba ?則 (1) ? ?li m li m li m 。na a a a? ? ? ?顯然 因 故 設(shè)解 0 ,nnaa? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?這就證明了 l i m .nn a ??? ?110,22 nnnnaaaa?????? ? ?返回 后頁 前頁 2 2 2 , 1 .A A A A? ? ? ? ?，并解出}{ na由此得到 有上界 2 , lim .nn aA?? ?故極限 存在l i m 2 .nn a?? ?1 2 2 2 ? ? ? ? ? ?1, 2 2 ,a ??顯然 2,na ?設(shè)則由極限的不等式性 , 知道 , 所以 0A?.}{ 遞增所以 na下面再來證明此數(shù)列有上界 . 于是由 1li m li m 2 ,nnnnaa?? ? ? ???可得 返回 后頁 前頁 例 2 下面的敘述錯(cuò)在哪兒？ .22 11 nnn aa ?? ??因?yàn)轱@然有 0 , { } .nnaa? 所以 遞增l i m ,nn aA?? ?設(shè)2 , 1 , 2 , ,nnan??“ 設(shè) 則2 0 ,A A A? ? ?li m 2 0 .nn ?? ?即 ”從而得出 紹 另 一 個(gè) 重 要 的 無 理 數(shù) π以 前 知 道 圓 周 率 是 一 個(gè) 重 要 的 無 理 數(shù) , 現(xiàn) 在 來返回 后頁 前頁 ? ? 1( 1 ) nne n考 察 數(shù) 列 的 收 斂 性 , 下 面 的 證 法????????利 用 二 項(xiàng) 式 展 開 , 得1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 )!nn n n n?? ? ? ? ?是最基本的 , 而教材上的證法技巧性較強(qiáng) . 21 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 112 ! !n nn n n nennn nn??? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?由此得 11 nne ??的 前 項(xiàng) 小 , 而 的 最 后 一 項(xiàng) 大 于 零 . 因 此? 1 ,n n ne e e把 和 的 展 開 式 作 比 較 就 可 發(fā) 現(xiàn) 的 展 開11 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 1 3 ! 1 1ne n n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ? ?? ? ??? 11 n式 有 項(xiàng) , 其 中 的 每 一 項(xiàng) 都 比 的 展 開 式 中返回 后頁 前頁 1 , 1 , 2 , .nne e n???{ e }n從 而 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且1 1 1 11 . ( 2 )1! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?211 1 11 1 3 ,2 22n ne ?? ? ? ? ? ? ?由 此{(lán) } . li m .nn nee ??這 就 證 明 了 又 是 有 界 數(shù) 列 于 是 存 在e,記 此 極 限 為 即1e lim ( 1 ) .nn n????返回 后頁 前頁 *例 3 1 1 1 11 , 1 , 2 , ,1! 2 ! 3 ! !nsn n? ? ? ? ? ? ?設(shè)211 1 11 1 3 ,2 22n ns ?? ? ? ? ? ? ? ?證 {} ns顯 然 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且 由 例 2 中 的 (2) 式 ,li m ,nn s??因 此 存 在 且 由 極 限 的 保 不 等 式 性e li m li m .nnnnes? ? ? ???1 1 1 111! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?li m e .nn s?? ?證明 : 返回 后頁 前頁 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,!mm n n n?? ? ? ? ?, n因 此 在 上 式 中 兩 邊 令 得??,nm又 對 任 意 ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !ne n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1( 1