【正文】 Ⅱ: 區(qū)間套定理致密性定理Cauchy收斂準(zhǔn)則。165。[M,M],記[a1,b1]=[M,M], 將[a1,b1],故意兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有S中無窮多個(gè)點(diǎn),記此子區(qū)間為[a2,b2],則[a1,b1]201。162。對(duì)于點(diǎn)集S,若點(diǎn)x的任何e鄰域內(nèi)都含有S中異于x的點(diǎn),即U(x。[a2,b2]及b2a2163。bnan,n=1,2,L.162。L163。+3232。令 x=3230。12)247。2x, x163。 x179。(0,p).則supE=________, infE= 非空有界數(shù)集的上（或下） 設(shè)S和A是非空數(shù)集， supS179。(165。247。=,8=: 定義1:(實(shí)數(shù)大小的概念)見[1]:(不足近似與過剩近似的概念)見[1]: 設(shè)x==,則xy219。、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19— [1]P19—20 1⑸，3，4，6；P25 1，2，5，8，12；[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.第四篇：數(shù)學(xué)分析教案第一章數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)課程簡(jiǎn)介(計(jì)劃課時(shí):2時(shí))一、背景:從切線、(limit)—— ：數(shù)學(xué)分析以極限作為工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科（僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運(yùn)算,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù), 數(shù)學(xué)分析的形成過程：孕育于古希臘時(shí)期:, ,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期:十七世紀(jì)下半葉到十九時(shí)紀(jì)上半葉——微積分的創(chuàng)建時(shí)期:十九時(shí)紀(jì)上半葉到二十時(shí)紀(jì)上半葉——、數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn): 邏輯性很強(qiáng), 很細(xì)致, 很深刻。,247。0時(shí),有f(x)==5x2x+32163。1,和g(x)=237。 infS179。infA..例4 x206。)}: 定義,(165。,(幾何平均值)232。 1實(shí)數(shù)集與確界（3時(shí)）一．實(shí)數(shù)集R：: (即有序性): : a,b206。c+b這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，(x,y,z)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案223）課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課一、教學(xué)目的：、第二型曲面積分的概念。三、教學(xué)難點(diǎn)：三重積分換元法四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。215 三重積分一、教學(xué)目的：；掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過程：l 格林公式，l例1—例3的講解l 曲線積分與路線的無關(guān)性，例4的講解。l 補(bǔ)充例子：利用二重積分計(jì)算體積；七、課程小結(jié)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案212）課題：167。七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。八、作業(yè)：P259 1，2。l 第一型曲面積分的概念（約25min，投影、圖示與黑板講解）l第一型曲面積分的計(jì)算（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解（約35min，投影、圖示與黑板講解）七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計(jì)算。八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。q163。a,b,g163。ai,(算術(shù)平均值)i=11nG(ai)=na230。N且n179。y y=: (1)例1⑴S=237。 A和B為非空數(shù)集, S=: infS=min{ infA , infB }.證x206。min{ infA , infB }.綜上, 有 infS=min{ infA , infB }.: ⑵: 設(shè) E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn).⑵非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE=:Th(確界原理).Ex[1]P4 3，4，9，10；P92，4，7⑴⑶.167。x3, x179。2524163。232。 實(shí)數(shù)集與函數(shù)（計(jì)劃課時(shí)：6 時(shí)）P1—22167。R, 記+22 3 a1+a2+L+an1nM(ai)= = 229。0, n206。1252。 supA是B的下界,222。同理有infS163。1x, x179。3, 即f(x)令 y=5x2x2+3 222。22248。lim(bnan)=0則稱{[an,bn]}為閉區(qū)間套，(區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)x使得x206。165。推論若x206。165。2162。LL令異。e)含有S給的e0,存在N0,使得當(dāng)nN時(shí)有[an,bn]204。0(n174。若, 取,.依此構(gòu)造區(qū)間套, 使對(duì)..時(shí)↗, 對(duì), 任何,有現(xiàn)證事實(shí)上, 注意到和↘以及遞增, , 得例2 設(shè)在閉區(qū)間于是有上函數(shù)連續(xù)，.遞增 , 且有內(nèi)有實(shí)根..由區(qū)間套定，.試證明: 方程證 構(gòu)造區(qū)間套理,有, 使對(duì), ,使在區(qū)間.現(xiàn)證 的構(gòu)造以及↗.事實(shí)上, 由在上的遞增性和和↘， 有.注意到在點(diǎn)連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , ，.為方程在區(qū)間 試證明: 區(qū)間,即證(用區(qū)間套技術(shù), 具體用反證法)反設(shè)區(qū)間 可排成一列:把區(qū)間.把區(qū) 三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含，記該區(qū)間為一級(jí)區(qū)間間三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含.??.，記該區(qū)間為二級(jí)區(qū)間依此得區(qū)間套, 使對(duì) 而 , 有, 其中區(qū)間.當(dāng)然有 ，.但對(duì)有. 課（3學(xué) 時(shí)）一．實(shí)數(shù)基本定理互證舉例：例4 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”.證 , 使內(nèi)含有數(shù)列, 取不是的上界， 外僅含有質(zhì).??., 而在使有的性,，.例5 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證 , 數(shù)列,，為數(shù)列的下界, 而每個(gè)為數(shù)列的上有上確界, ..例6 用“有限復(fù)蓋定理”證明“聚點(diǎn)原理”.證(用反證法)設(shè)是的聚點(diǎn), 則對(duì)的有限個(gè)點(diǎn).??.例7 用“確界原理”證明“聚點(diǎn)原理”.證 , , 存在開區(qū)間.反設(shè), 使在的每一點(diǎn)都不內(nèi)僅有易見數(shù)集,由 非空有上界, 由確界原理，不是的上界。[an+1,bn+1],n=1,2,L。)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套, 存在唯一的一點(diǎn)x使得x206。e2)IS,且顯然x2185。165。)，即時(shí){[an,bn]},存在唯一的一個(gè)數(shù)x206。165。165。（2）n174。 , +165。3，\對(duì) x206。1,236。 infS163。B,y是A的上界,222。y y=236。 M(ai),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)成立.⑶Bernoulli 不等式: x1,有不等式(1+x)n179。 163。第三學(xué)期184=: 第一學(xué)期一元函數(shù)微分學(xué)。2231。0, 222。求 f(0), f(1), f(2).例3設(shè) f(x)=237。同理有infS163。 supA是B的下界, 222。, x206。1+nx, 1 且 x185。 x.⑵均值不等式: 對(duì)aa+1,a2,L,n206。q163。旨在訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用）四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納）（一）空間直角坐標(biāo)系（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算 （三）向量的坐標(biāo)表示 =a1i+a2j+a3k的模 a=a1+a2+ 五、布置作業(yè)(2分鐘)、6題222第二節(jié) 向量的點(diǎn)積與叉積教學(xué)目標(biāo)：：：：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書一、引入新課（5分鐘）(提問)=a1i+a2j+a3k的模222+a2+ a=a1(溫故知新,為用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算做一些必要的知識(shí)鋪墊。224場(chǎng)論初步一、教學(xué)目的： 掌握梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)二、教學(xué)重點(diǎn)：梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)三、教學(xué)難點(diǎn)：梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。二、教學(xué)重點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算三、教學(xué)難點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過程：[引例]：（約5min，語(yǔ)言表述）由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的變量變換。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過程：l 二重積分的概念與性質(zhì)（約95min，投影、圖示與黑板講解）1．二重積分的概念復(fù)習(xí)； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。（約5min，語(yǔ)言表述）15min，投影、圖示與黑板講解）（約25min，圖示與黑板講解）（約30min，圖示與黑板講解）（約20min，黑板講解）（約5min，黑板講解）（約課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案213）課題：二重積分的概念與計(jì)算習(xí)題課一、教學(xué)目的：1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。七、課程小結(jié)：格林公式與曲線積分與路徑無關(guān)的概念。五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持六、教學(xué)過程：l 三重積分的定義（約15min，投影、圖示與黑板講解）l，例1，例2講解（約25min，圖示與黑板講解）l l 三重積分還原公式，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解（約35min，圖示與黑板講解）七、課程小結(jié)：（約5min，黑板講解）三重積分的定義，在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分的方法。l三重積分的計(jì)算；、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分； 。二、教學(xué)重點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算三、教學(xué)難點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算四、教學(xué)方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學(xué)。⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量, ⑴ 向量的加法① 三角形法則 若將向量a的終點(diǎn)與向量b的起點(diǎn)放在一起，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量a與b的和向量，記為a+.②平行四邊形法則 將兩個(gè)向量a和b的起點(diǎn)放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱為a+：a+b=b+a； 結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運(yùn)算實(shí)數(shù)l與向量a的乘積是一個(gè)向量，稱為向量a與數(shù)l的乘積，記作la，并且規(guī)定：①la=l a；②當(dāng)l0時(shí)，la與a的方向相同；當(dāng)l0時(shí)，la與a的方向相反； ③當(dāng)l=0時(shí)，,m都是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律：結(jié)合律：l(ma)=(lm)a=m(la)；分配律：(l+m)a=la+ma , l(a+b)=la+.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個(gè)非零向量，則與a同向的單位向量ea= ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)l=1時(shí)，記(1)a=a，則a與a的方向相反，模相等，a稱為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 ab=a +(1)，只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，ab即是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘）向徑及其坐標(biāo)表示⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標(biāo)表示向徑 終點(diǎn)為P的向量OP稱為點(diǎn)P的向徑,(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為