【正文】 若, 取,.依此構(gòu)造區(qū)間套, 使對..時↗, 對, 任何,有現(xiàn)證事實上, 注意到和↘以及遞增, , 得例2 設(shè)在閉區(qū)間于是有上函數(shù)連續(xù)，.遞增 , 且有內(nèi)有實根..由區(qū)間套定，.試證明: 方程證 構(gòu)造區(qū)間套理,有, 使對, ,使在區(qū)間.現(xiàn)證 的構(gòu)造以及↗.事實上, 由在上的遞增性和和↘， 有.注意到在點連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , ，.為方程在區(qū)間 試證明: 區(qū)間,即證(用區(qū)間套技術(shù), 具體用反證法)反設(shè)區(qū)間 可排成一列:把區(qū)間.把區(qū) 三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含，記該區(qū)間為一級區(qū)間間三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含.??.，記該區(qū)間為二級區(qū)間依此得區(qū)間套, 使對 而 , 有, 其中區(qū)間.當然有 ，.但對有. 課（3學 時）一．實數(shù)基本定理互證舉例：例4 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”.證 , 使內(nèi)含有數(shù)列, 取不是的上界， 外僅含有質(zhì).??., 而在使有的性,，.例5 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證 , 數(shù)列,，為數(shù)列的下界, 而每個為數(shù)列的上有上確界, ..例6 用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.證(用反證法)設(shè)是的聚點, 則對的有限個點.??.例7 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 , , 存在開區(qū)間.反設(shè), 使在的每一點都不內(nèi)僅有易見數(shù)集,由 非空有上界, 由確界原理，不是的上界。又, 有, 得, 可見..由.則, , 則不空。2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明教學目的要求：、難點：重點是定理的證明方法,:2學時 教學方法:: : 命題1 ，在上.證法 一(用區(qū)間套定理). 二(用列緊性). 三(用有限復蓋定理).: 命題2(只證取得最大值)證(用確界原理)參閱[1]P226[ 證法二 ] : 證明與其等價的“零點定理 ”.命題3(零點定理)證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用確界原理).不妨設(shè) 令有.現(xiàn)證 ,( ，.因此只能有.，.由，在點連續(xù)和且).取且, 則非空有界，.， 三(用有限復蓋定理).: 命題4(Cantor定理)證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用列緊性).： 例1 設(shè), 則是閉區(qū)間, 使上的遞增函數(shù), .(山東大學研究生入學試題)，證法 一([3] P76例10 證法1)設(shè)集合 ,下證 ?。┤?由., 有遞增和, ⅱ）若,.于是 , 只能有, 則存在↘,內(nèi)的數(shù)列.由., 使遞增，↗, 以及, 得。Ⅲ: 區(qū)間套定理Heine–Borel 有限復蓋定理.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理單調(diào)有界原理”已證明過).“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: “單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: 定理 設(shè),使對 若是區(qū)間套確定的公共點, 則對, 當時, 若是區(qū)間套確定的公共點, 則有 ↗, ↘，.“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:定理 數(shù)列收斂 Cauchy列是有界列.(證)定理 的證明:(只證充分性)教科書P217—,． 用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ： 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；（只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè)時 , 顯然有上確, 取, 使不是的上界， 收斂。(a,b).即用H中一個開區(qū)間就能覆蓋[an,bn]: 這一節(jié)理論性強,學生學習困難較大, ,應(yīng)先構(gòu)造一個閉區(qū)間套,構(gòu)造的方法一般是二等分法,在應(yīng)用有限覆蓋定理時,[a2,b2]中包含{an}的幾乎所有項,是因為它中包含{an}的第N2項以后的所有項,這里應(yīng)強掉,這是一個難點,、實數(shù)基本定理等價性的證明（未講） : 證明按以下三條路線進行: Ⅰ: 確界原理 單調(diào)有界原理區(qū)間套定理Cauchy收斂準則確界原理。H,使得x206。)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套,且其中每一個閉區(qū)間都不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋 由閉區(qū)間套定理, 存在唯一的一點x使得x206。0(n174。[an+1,bn+1],n=1,2,L。[a,b],且b1a1=12(ba).122再將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間,同樣,[a2,b2],則[a2,b2]204。limank=A定義3設(shè)S為數(shù)思軸上的點集,H為開區(qū)間集合(即H的每一個元素都是形如(a,b)的開區(qū)間).若S中的任何一個點都有含在H中至少一個開區(qū)間內(nèi),則稱H為S的一個開覆蓋,(H覆蓋S).若H中開區(qū)間的個數(shù)是無限的(有限)的,則稱H為S的一個無限開覆蓋(人限開覆蓋).如S=(a,b),H={(xdx,x+dx)|x206。limank=A由條件及數(shù)列極限的定義, 對任給的e0,存在K0,使得對m,n,kN有所以k174。kK)時得到 nkk{ank},設(shè)k174。{an}收斂,由致密性定理,數(shù)列{an}有收斂子列|aman|e，|ankA|e|aA|163。162。e)含有S給的e0,存在N0,使得當nN時有[an,bn]204。)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套, 存在唯一的一點x使得x206。0(n174。[an+1,bn+1],n=1,2,L。[a2,b2]且b2a2=12(b1a1)=[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間,則其中至少有一個含有S中無窮多個點,取出這樣一個子區(qū)間記為[a3,b3],則[a2,b2]201。(Weierstrass聚點定理) QS有界, \存在M0,使得S204。1limx=xn,知n174。U(x。LL令異。e2)IS,且顯然x2185。0令e2=min(,|xx1|)2110,則存在x2206。U(x,e)=1,則存在x1206。的證明: 由定義2162。2162。162。2162。2162。165。162。,=x{x}204。e)IS185。定義2162。165。U(x,e)liman=x即在U(x,e)內(nèi)含{an}中除有限項的所有項,由定義1162。165。)，即時{[an,bn]},存在唯一的一個數(shù)x206。0(n174。bnan163。12n12.依次繼續(xù)令幾乎所有的項,且滿足 e=123,L，L,得一區(qū)間列{[an,bn]},其中每個區(qū)間中都含有{an}中[an,bn]201。e，即 在區(qū)間[aNe,aN+e]內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項（指的是{an}中除有限項的所有項）\令e=12則存在N1，在區(qū)間[aN112,aN1+1]2內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項，記該區(qū)間為[a1,b1].再令項，e=122則存在N2(N1)，在區(qū)間[aN1122,aN1+122]內(nèi)含有{an}中幾乎所有的記該區(qū)間為滿足 [a2,b2]=[aN1122,aN1+122]I[a1,b1]也含有{an}中幾乎所有的項,且[a1,b1]201。=N，有對任給的e0,存在N0,使得對n179。U(x,e)柯西收斂準則 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對任給的e0,存在N0,使得對m,nN有 |aman|[必要性] 略.[充分性] 已知條件可改為：對任給的e0,存在N0,使得對m,n179。推論若x206。165。163。x163。設(shè)x162。163。x163。165。165。165。165。b2163。bn163。an163。a2163。x163。lim(bnan)=0則稱{[an,bn]}為閉區(qū)間套，(區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個區(qū)間套,則在實數(shù)系中存在唯一的一點x使得x206。（2）n174。1 關(guān)于實數(shù)完備性的基本定理教學目的要求： 掌握實數(shù)完備性的基本定理的內(nèi)容，、難點：,特別是柯西收斂準則和充分性的證明..學時安排:4學時 教學方法::一、區(qū)間套定理與柯西收斂準則定義1 設(shè)閉區(qū)間列{[an,bn]}具有如下性質(zhì)：（1）[an,bn]201。 f(x)=526sin2t163。248。t247。32tgt+16costsec231。231。22248。 , +165。對應(yīng)x206。231。pp246。 y 163。2524163。0, 222。3, 即f(x)令 y=5x2x2+3 222。3，\對 x206。26x=526163。22x3=26x, 當x185。=x+(x)=(, +1, +: : : : 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)=(f(x))2.⑵F(x)=ma{xf(x), g(x)} 和 f(x)=min{f(x), g(x)}都是初等函數(shù), 因為 F(x)=max{f(x), g(x)}=12[f(x)+g(x)+f(x)g(x)] ，f(x)=min{f(x), g(x)} =12[f(x)+g(x)f(x)g(x)].⑶冪指函數(shù) (f(x))g(x)(f(x)0)是初等函數(shù),因為(f(x))g(x)=eln(f(x))g(x)=eg(x)lnf(x).: Ex[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；167。1246。x+2230。x3, 例3 設(shè) f(x)=237。1x, x179。1,236。x, x1x(x)=32x1, f(x)=237。239。1, x=1, 和g(x)=: 以函數(shù)f(x)=237。239。1x, x1,236。min{ infA , infB }.綜上, 有 infS=min{ infA , infB }.四、數(shù)集與確界的關(guān)系: ⑵、確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE=、確界原理: Th(確界原理).Ex[1]P9:2，4，5.167。同理有infS163。 infS163。 S的下界就是A的下界,infS是S的下界, 222。min{ infA , infB }.又S201。min{ infA , infB }.即min{ infA , infB }是數(shù)集S的下界, 222。infA或{}x179。A或x206。 A和B為非空數(shù)集, S=: infS=min{ infA , infB }.證x206。 supA是B的下界,222。B,y是A的上界,222。y, 則有supA163。A和y206。supA, infS163。⑵E=y y=sinx, x206。1+ infS=,則supS=______,n238。(0 , 1)三、確界:(1)n252。1252。y y=236。 , 0),(0 , +165。 , +165。 , +165。2 確界原理（2時）一、有界數(shù)集:定義(上、下有界,有界), 閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，如集合 E=y y=sinx, x206。(1+x)+n1=(1+x)+1+1+L+1nnn n(1+x)=n(1+x).222。2時, 有嚴格不等式(1+x)n1+由 1+x0且1+x185。0, n206。 M(ai),等號當且僅當a1=a2=L=an時成立.⑶Bernoulli 不等式: x1,有不等式(1+x)n179。i=1ainn1nn111++L+a1a2an.(調(diào)和平均值)有平均值不等式:H(ai)163。=11n1229。,(幾何平均值)232。i247。246。231。R, 記+22 3 a1+a2+L+an1nM(ai)= = 229。 163。 e0, ab :見[1]P5 : : 定義 a =max{a , a }.[1]P2 :⑴ a+b179。N,39。$n,使得xn 設(shè)x、y為實數(shù)，x：存在有理數(shù)r滿足xry.[1]: ⑴.四則運算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:a,b206。對于負有限小數(shù)(包括負整數(shù))y,則先將y表示為無限小數(shù),再在所得無限小數(shù)之前加負號。0,a0為非負整數(shù),記x=(an1)9999L。ai163。 實數(shù)集與函數(shù)（計劃課時：6 時）P1—22167。第三學期184=: 第一學期一