微積分學(xué)數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則-文庫(kù)吧資料
2025-05-05 06:27本頁(yè)面
【正文】 黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。 他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（ 1771年），與 他共同生活 40年的結(jié)發(fā)之妻先他 10年去世。在他 76年 的生命歷程中，還有 25年住在德國(guó)柏林（ 1741 － 1766年），其余時(shí)間則留在俄國(guó)彼得堡。數(shù)、熟悉等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí) P本章學(xué)習(xí)要求： 第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 第二節(jié) 數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則 第三節(jié) 數(shù)列極限的運(yùn)算 一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則 二、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 三、極限的運(yùn)算 四、施篤茲定理及其應(yīng)用 單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 . 一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則 通常說(shuō)成：?jiǎn)握{(diào)有界的數(shù)列必有極限 . . 11 收斂證明數(shù)列???????????? ?nn證 由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)公式 ?????????????????? ?? 32 1! 3 )2)(1(1! 2 )1(1! 1111 nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn 1! ))1(()1( ????? ????????? ??????? ???????? ???? nnn 2111! 3111 2111 ！ , 112111! 1 ?????? ???????? ??????? ?? nnnnn ?例 1 類(lèi)似地 , 有 11 111 ?? ?????????nn nx 111121111! 1 ?????? ????????? ???????? ??? nnnnn ? 11121111! )1( 1 ?????? ???????? ???????? ???? n nnnn ????????? ???????? ????????? ????? 121111! 31111 2111 nnn！除前面的展開(kāi)式可以看出與比較 , 1?nn xx并且的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的每一項(xiàng)都小于兩項(xiàng)外 , , 1?nn xx因此一項(xiàng)還多了最后的大于零的 , 1?nx1?? nn xx. }{ 是單調(diào)增加的即 nx???????? ??????? ???????? ???? nnnx n 2111! 3111 2111 ！ 112111! 1 ?????? ???????? ??????? ?? nnnnn ?又 ! 1! 31! 2111n?????? ?12 21212111??????? n? ,32132112111 1 ??????? ?nn 等比數(shù)列求和 放大不等式 . }{ 有界從而 nx每個(gè)括號(hào)小于 1 . 綜上所述 , 數(shù)列 {xn}是單調(diào)增加且有上 界的 , 由極限存在準(zhǔn)則可知 , 該數(shù)列的極限 存在 , 通常將它紀(jì)為 e, 即 . 11l i m ennn??????? ????e 稱(chēng)為歐拉常數(shù) . ?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 ?e .ln : , , xye ?記為稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)為底的對(duì)數(shù)以! ! 1! 31! 21 ! 111 nnnee???????? ??的計(jì)算公式為 . 10 , ?? ?其中 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。收斂判判別法。件以及收斂級(jí)數(shù)的基本必要條性質(zhì)。熟悉無(wú)窮小熟悉數(shù)列極限的性質(zhì)和。正確理解》語(yǔ)言描述數(shù)列的會(huì)用《了解數(shù)列極限的概念， NN?? ?念和性質(zhì)。高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第四講 數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則、 無(wú)窮小量、極限運(yùn)算 腳本編寫(xiě)、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛(ài)珍 劉開(kāi)宇 孟益民 第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的含義。和極限。量的概收斂準(zhǔn)則。極限或簡(jiǎn)單的極限證明限運(yùn)算法則計(jì)算數(shù)列的以及極式”法、“夾逼定理”能熟練運(yùn)用“放大不等性質(zhì)。掌握級(jí)數(shù)收斂的理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念和別法。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)熟悉常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂－級(jí)數(shù)的斂散性。他于 1707年生于瑞士 巴塞爾， 20年后卻永遠(yuǎn)離開(kāi)了祖國(guó)。 歐拉 31歲時(shí)右眼失明， 59歲時(shí)雙目失明。 歐拉聲譽(yù)顯赫。 歐拉成就卓著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書(shū) 和約 400篇論文。 歐拉聰明早慧， 13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué) 士學(xué)位。后為了滿(mǎn)足父親的愿望，學(xué) 了一段時(shí)期的神學(xué)和語(yǔ)言學(xué)。 歐拉具有超人的計(jì)算能力?！? 有一次，歐拉的兩個(gè)學(xué)生計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的 和，加到第 17 項(xiàng)時(shí)兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個(gè)單位。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使 牛頓頭疼的月球運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜分析運(yùn)算。 十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國(guó)， 如他在 1748年出版的 《 無(wú)窮分析引論 》 。 想想：如何證明夾逼定理 ? ,limlim 所以因?yàn)?azy nnnn ?? ????, || , ,0 ,0 1 ?? ??????? ayNnN n時(shí)當(dāng), || , ,0 ,0 22 ?? ??????? azNnN n時(shí)當(dāng) , },m ax{ 21 有時(shí)則當(dāng)取 NnNNN ?? . || , || ?? ???? azay nn故有或從某一項(xiàng)開(kāi)始已知 ),( ???? Znzxy nnn)( Nnazxya nnn ??????? ?? , , 由極限定義得有時(shí)即當(dāng) ?? ????? axNn n.lim ax nn ????解 .12111 lim 222 ?????? ????????? nnnnn?求112111 22222 ?????????? nnnnnnnnn ? , 1lim 2 ????? nn nn而 11lim 2 ????? nn由于 112111 lim 222 ??????? ????????? nnnnn ?故例 2 想得通吧？ 解 . ,! lim ????? Znnn nn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnn n ????????? ?由于 1. 1,3,2 均小于nnnn ?? ,00lim ,01lim ???????? nn n而 .0! lim ???? nn nn故例 3 .)321(lim 1nnnn?????求 132313)321(11 nnnnnn???????????
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