【正文】 以達(dá)到簡化，再利用洛必達(dá)法則。函數(shù)的單調(diào)有界定理應(yīng)用的較少，大家只要了解就可以。（2）若在內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則存在。夾逼定理 若 ，且存在的某空心鄰域，使得對一切，都有，則 。但替換以后函數(shù)極限要存在或?yàn)闊o窮大。此外，若.167。利用上述重要極限，我們可以得到下列對應(yīng)的重要的等價(jià)無窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們當(dāng)時(shí)，..注：上式中的可換成，只要時(shí)，.結(jié)論依然成立。注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，更要明白一般形式。七、重要的函數(shù)極限與重要的等價(jià)量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號與外函數(shù)的可交換性及等價(jià)量替換，夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限。推論2 若函數(shù)上連續(xù)，則。定理（根的存在定理或零值點(diǎn)定理）若函數(shù)上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)。六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理 （最大值與最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一定能取到最大值與最小值，即存在，使得對一切，都有。即極限符號與外函數(shù)交換順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)極限。由于。性質(zhì)2 若處連續(xù)，則處也連續(xù)且在滿足性質(zhì)2的條件下，極限符號與外函數(shù)可交換順序，如果僅要可交換順序，有推論 若。五、函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)若函數(shù)處連續(xù)，即，利用極限的性質(zhì)15可得到函數(shù)在連續(xù)的局部有界性，局部保號性，不等式等，只要把即可，讀者自己敘述出來。逆否定理若存在兩個(gè)數(shù)列==且或存在不存在，則不存在。上面的結(jié)論可作為公式用。性質(zhì)7（函數(shù)極限的四則運(yùn)算）若均存在，則函數(shù)（1）； （2）；（3）；又若在時(shí)的極限也存在，且有（4）。性質(zhì)6 （復(fù)合函數(shù)的極限）若，且存在的某空心鄰域，當(dāng)時(shí)， ，則。性質(zhì)4（局部保號性） 若，則對任何常數(shù)，存在的某空心鄰域，使得對一切，都有 成立。注意：存在，只能得出在的某鄰域內(nèi)有界，得不出在其定義域內(nèi)有界。性質(zhì)1（唯一性）若極限存在，則它只有一個(gè)極限。若，我們也稱為的無窮型間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。（1）（2）兩種類型的特點(diǎn)是左右極限都存在，我們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。設(shè)則在處連續(xù)，雖然與定義域相同，但在處，兩個(gè)函數(shù)值不同，知與不是同一函數(shù)，但僅在不同，其余點(diǎn)函數(shù)值處處相同。而時(shí)，所以在的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì)，從而達(dá)到了我們的目的。我們正是利用這一性質(zhì)去構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，使在某閉區(qū)間上處處連續(xù)，因而有某種性質(zhì)。若為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，只須補(bǔ)充定義或改變函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。如果處不連續(xù)，稱為的間斷點(diǎn)。若稱處右連續(xù)。用函數(shù)值增量形式可寫為定義 若，稱在處連續(xù)。定義1 若處連續(xù)。無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系：若；若。無窮大量的性質(zhì)：1．有限個(gè)無窮大量之積仍是無窮大量。（ii）。注：A不能為零，若A=0，不可能和0等價(jià)。記作，如果均是無窮小量，稱為等價(jià)無窮小量；如果均是無窮大量，稱為等價(jià)無窮大量；如果既不是無窮小也不是無窮大，我們稱為等價(jià)量。（4）若，稱時(shí)是的k階無窮小量。（2）若，稱時(shí)是的同價(jià)無窮小量。10．若時(shí)，都有，稱時(shí)是有界量。定理 。稱當(dāng)是無窮小量。因此，給它一個(gè)記號，但還是屬于極限不存在之列，以后，我們說函數(shù)極限存在，指的是函數(shù)極限值是個(gè)常數(shù)。讀者同理可給出定義。8.。此時(shí)稱時(shí)，是無窮大量。定理 且該定理是求分界點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同的分段函數(shù)在該分界點(diǎn)極限是否存在的方法，而如果在的左右極限存在且相等，則在該點(diǎn)的極限存在，否則不存在。此時(shí)也可用或表示右極限。5． 設(shè)在的某左半鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)常數(shù)A，時(shí)，都有。3． 把1中“”換成“”。一、函數(shù)極限的概念1.。關(guān)系定理 函數(shù)極限與無窮小 無窮大與無窮小無窮小的階——高階、同階、等價(jià)。第二節(jié) 函數(shù)極限與連續(xù)167。 （2）。 解（1）由f(x)的定義域是R。 九、函數(shù)有界性的判斷 判斷函數(shù)是否有界，經(jīng)常用定義。 例14 設(shè)及f(x)為遞增函數(shù)證明：若 （1） 則 （2） 證 設(shè)x0為三個(gè)函數(shù)公共域內(nèi)的任一點(diǎn)，則 由（1）以及函數(shù)f(x)的遞增性知，；從而 同理可證 。2．利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)。事實(shí)上 所以f(x)是以2(ba)為周期的周期函數(shù)。 例13 若函數(shù)的圖形關(guān)于兩條直線x=a和x=b對稱（ba），則f(x)為周期函數(shù)。 （2）由 ，知f(x)的周期。 解（1）由的周期，的周期。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期T=2π；其周期T=π。 （1）用定義。 （3）由 ，知f(x)為奇函數(shù) 七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法 1．周期函數(shù)周期的求法 （1）若T為f(x) 的周期，則f(ax+b)的周期為 （2）若f(x)的周期為T1，g(x)的周期為T2，則c1f(x)+c2g(x)的周期為T1，T2的最小公倍數(shù)。判斷方法 1．用定義 2．.若f(x)+f(x)=0，則f(x)為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。 2. 偶數(shù)個(gè)奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇函數(shù)?；虻? 六、判斷奇偶函數(shù)的方法 偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。 解 由（1）當(dāng)時(shí)或。故 f(f(x))=1。 例9 設(shè)。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論已成立，假設(shè)n=k時(shí)，成立，當(dāng)n=k+1時(shí)， 。2．分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達(dá)式及中間變量的定義域進(jìn)行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。所以反函數(shù)為（3）由 則反函數(shù)為 五、求復(fù)合函數(shù)的方法。=f1(x),則y=f—1(x)是x=f—1(y)的反函數(shù). 例7 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)； （2）； （3） 解（1）由，知反函數(shù)為， 。 （2）由的定義域是的全體實(shí)數(shù)，的定義域是的全體實(shí)數(shù)，知兩函數(shù)定義域不同，盡管當(dāng)時(shí)，知兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，但（i）（ii）不是同一個(gè)函數(shù)。 解（1）由y=sinx的定義域是[0，π]，的定義域是[0，π]。故函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]。（3）由原函數(shù)式變形，得 ，即 。故函數(shù)的值域是。 解（1）令，于是。二、求函數(shù)值域的方法1. 由定義域x的范圍，利用不等式求出f(x)的范圍；2. 若y=f(x)有反函數(shù)x=f1(y)，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；3. 利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。 解 要使f(x+a)+f(xa)有意義，必須滿足 得 當(dāng)時(shí)，由，知函數(shù)的定義域?yàn)椤? 解 由，得，由，得，即x≤0，所以 。注意：如果把化簡為，那么函數(shù)的定義域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)，因此，求函數(shù)的定義變形式時(shí)需特別小心，避免出錯(cuò)。 例2 不清設(shè)，求f(x)的定義域。（2）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足 ，即，化簡有，不等式各邊除以（2）有，各邊取倒數(shù)得。 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2） 解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足。，定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當(dāng)確保實(shí)際有意義自變量取值全體組成的集合。一、求函數(shù)定義域的方法1．若函數(shù)是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，且在（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號下應(yīng)大于或等于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且 此外，定義在區(qū)間（a,a）上的任何一個(gè)函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和事實(shí)上設(shè) 由奇偶函數(shù)的定義知，f1(x)是奇函數(shù)。 設(shè)，我考慮區(qū)間[a,a]上的函數(shù)F(x)，它是偶函數(shù)，且在[0,a]上，使F(x)=f(x)，則應(yīng)有稱F（x）是f(x)的偶延拓同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（x）在[a,a]上的奇函數(shù)，且在（0,a）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則應(yīng)有這樣，研究f(x)只要，研究F（x）就可以了。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對每一個(gè)正常數(shù)M（無論M多么大），都存在，使，則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=M與y=M之間。由定義可知上、下界有無數(shù)個(gè)，我們也可寫成如下的等價(jià)定義，使用更加方便。注意分段函數(shù)不是由幾個(gè)函數(shù)組成的，而是一個(gè)函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來舉反例，常見的分段函數(shù)有符號函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。 遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。所以D是無窮區(qū)間，即無窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實(shí)數(shù)里沒有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒有最小正周期。 顯然，若T是f(x)的周期，則也是f（x）的周期，若周期函數(shù)f(x)的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個(gè)最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。 （1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如 ，是由復(fù)合而成。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。四 初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。則復(fù)合函數(shù)，若作為外函數(shù)，作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)