數(shù)列極限是整個(gè)數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)-文庫(kù)吧資料
2024-07-30 13:21本頁(yè)面
【正文】 每天截下一半 , 這 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 21 1 1 1, , , , , .2 2 2 2nn??????或容易看出 : 數(shù)列 1122nn??????的通項(xiàng) 隨著 n 的無(wú) 限增 大而無(wú)限趨于 0 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 三、收斂數(shù)列的定義 下面給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義 . 定義 1 {}na設(shè) 為一個(gè)數(shù)列 , a 為一個(gè)常數(shù) , 若對(duì)于 任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當(dāng) n N 時(shí) , 0? ?,|| ??? aa n則稱數(shù)列 收斂于 a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限 , {}na {}na一般地說(shuō) ,對(duì)于數(shù)列 , 若當(dāng) n 充分變大時(shí) , an {}na能無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . {}na返回 后頁(yè) 前頁(yè) 記作 lim nn aa?? ?( , ) .na a n? ? ?或若 不收斂 , 則稱 為 發(fā)散數(shù)列 . {}na {}naxa1?Na1a 2a??a ??a( )na注 定義 1 這種陳述方式，俗稱為 “ ? N ”說(shuō)法 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 四、按定義驗(yàn)證極限 以說(shuō)明 , 希望大家對(duì) “ ? N ”說(shuō)法能 有正確的認(rèn)識(shí) . 例 1 用定義驗(yàn)證 : 1lim 0 .n n???分析 對(duì)于任意正數(shù) ,? 要使 1 0,n ? ? ?只要 .1??n證 對(duì)于任意的正數(shù) ? , 1 ,N ??? ?????取 ,nN?當(dāng) 時(shí)1 0,n ???所以 1li m 0 .n n???為了加深對(duì)數(shù)列收斂定義的了解 , 下面結(jié)合例題加 返回 后頁(yè) 前頁(yè) lim 0 ( 0 | | 1 ) .nn qq?? ? ? ?例 2 用定義驗(yàn)證 分析 對(duì)于任意的正數(shù) ?, 要使 | 0 | ,nq ???只要 lo g .lo g | |n q??這就證明了 lim 0 .nn q?? ?| 0 | .nq ???證 0 ( 0 1 ) ,??不 妨 設(shè)? ? ? ?,nN當(dāng) 時(shí) 有?lo g ,lo g | |N q?取 ???????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22217 ,33 7
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