數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無窮大量與無窮小量-文庫吧資料
2024-08-28 12:13本頁面
【正文】 NML )( xfy ?C xyO返回 后頁 前頁 .1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN ? ????? ?由漸近線的定義， 或時 (???x ????? xx ,01)(lim 2 ?? ????? kbkxxfx即時） ,0, ?PN首先 , 我們來看如何求曲線 的斜漸近線 . )( xfy ?如圖所示 , 設(shè)斜漸近線 L 的方程為 .bkxy ?? 曲 線上的動點(diǎn) 至直線 L 的距離為 ),( yxP返回 后頁 前頁 從而 .])([l i m kxxfb x ?? ???又 xkxxfkxxfxx???????? ???????)(lim)(lim,0lim ????? xbx所以， .)(lim x xfkx ????返回 后頁 前頁 這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)： ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfbx ?? ???這是沿 x 軸正向的漸近線的方程 . 顯然沿 x 軸負(fù)向 ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfb x ?? ???同樣也可以求出沿著 x ? － ? 的漸近 線方程 . 的斜漸近線的斜率和截距分別為 返回 后頁 前頁 注 特別當(dāng) k = 0 時，該漸近線稱為水平漸近線 . )()(l i m ?????? Axfx.))(lim,)(lim( AxfAxf xx ?? ?????滿足若函數(shù) )( xf??? )(l i m0xfxx,))(lim)(lim(00???? ????xfxfxxxx或則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線 . )( xfy ?顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是 返回 后頁 前頁 例 9 求曲線 3223??? xxxy 的漸近線 . .)(l i m,)(l i m 31 ???? ??? xfxf xx并且 f (x) 在其他點(diǎn)處均有有限極限，所以求得垂 .3,1 ??? xx解 易見,)1)(3(3??? xxx32)( 23??? xxxxf設(shè)直漸近線為 : 返回 后頁 前頁 ,1)1)(3(l i m)(l i m2???????? xxxxxfxx又 。1|)(| 1 ?xf.)(lim ???? nn xf證 ，為無界量時因?yàn)?)(0 xfxx ?所以 ,0??G返回 后頁 前頁 。)(l i m,)(l i m,)(l i m ???????? ????????? xfxfxf xxx。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(l i m,)( )(l i m)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(l i m)()(l i m00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因?yàn)?所以 返回 后頁 前頁 定理 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子 例 1 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因?yàn)?所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 返回 后頁 前頁 例 2 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?返回 后頁 前頁 有定義 , 若對于任給 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在 )( 0xU ?| ( ) | ,f x G?.)(l i m0??? xfxx)()。)0(~sin ,1sinlim0???xxxx xx所以因?yàn)椤?0()(c os1 ??? xxox0()f x x x?當(dāng) 為 時的無窮小量時，我們記返回 后頁 前頁 2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域 )( 0xU ? 內(nèi)，有 ,)( )( Mxg xfL ??根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當(dāng) 0)( )(lim0???cxg xfxx時，這兩個無窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時當(dāng) ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無窮小量 。x xx ??為 時的無窮小量s in .xx ??為 時的有界量小量 . 返回 后頁 前頁 1. 兩個 (類型相同的 )無窮小量的和，差，積仍是 2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量 . 性質(zhì) 1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到 . ? ? 所以因?yàn)榈?,0lim,00?? ? xfxx? 使得當(dāng)存在 ,0??無窮小量 . 下面對性質(zhì)２加以證明 . 00 | | , | ( ) | ,1x x f x M??? ? ?
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