數(shù)學(xué)分析數(shù)列極限的概念-文庫吧資料
2024-09-08 09:06本頁面
【正文】 ba },{ nn ba ?則 (1) ? ?lim lim lim 。 2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 本節(jié)首先考察收斂數(shù)列這個(gè)新概念有哪 七、一些例子 六、極限的四則運(yùn)算 五、迫斂性 (夾逼原理 ) 四、保不等式性 三、保號(hào)性 二、有界性 些優(yōu)良性質(zhì)？然后學(xué)習(xí)怎樣運(yùn)用這些性質(zhì) . 返回返回 后頁 前頁 一、惟一性 定理 若 }{ na 收斂 , 則它只有一個(gè)極限 . 證 設(shè) .}{ 的一個(gè)極限是 naa 下面證明對(duì)于任何 定數(shù) .}{, 的極限不能是 nabab ?若 a， b 都是 { an } 的極限，則對(duì)于任何正數(shù) ? 0, 有時(shí)，當(dāng) 22 , NnN ??有時(shí)，當(dāng) 11 , NnN ??)1(。( ?aU項(xiàng) . 注 { an }無極限（即發(fā)散）的等價(jià)定義為 : { an } 返回 后頁 前頁 2定 義 l i m 0 , { } .nnn aa?? ?若 則 為 無 窮 小 數(shù) 列稱? ?21! .1 nnn qqnn例 和 是 無 窮 小 數(shù) 列 當(dāng) 時(shí) ,如 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?{}2 . 1 }{nna a a a數(shù) 列 收 斂 于 的 充 要 條 件 是 :定 理 ?以下定理顯然成立 ,請(qǐng)讀者自證 . 是 無 窮 小 數(shù) 列 .是 無 窮 小 數(shù) 列 .返回 后頁 前頁 ,大 數(shù) 列 記 作li m .nn a?? ??,窮 大 數(shù) 列 負(fù) 無 窮 大 數(shù) 列或 分 別 記 作l i m l i m .nnnnaa? ? ? ?? ? ? ? ? ?或3定 義 { } 0 ,naG設(shè) 是 一 數(shù) 列 , 若 對(duì) 任 意 總 存 在 正?, , , { }nnN n N a G a整 數(shù) 使 無則 稱 窮得 任 意 是??, , { }n n n na G a G a G a若 改 為 或 則 稱 正 無是? ? ? ?返回 后頁 前頁 六、一些例子 為了更好地理解 定義 , 再舉一些例題 . ”“ N??例 5 證明 發(fā)散 . })1({ n?又因 a 是任意的 , 所以 發(fā)散 . a 為極限 . }{ na證 對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, 取 ,210 ?? :})1({}{ 滿足nna ??之外有無限多 )21,21(,)0(0 ???? aaaa 在時(shí)當(dāng)所以由定義 139。( ?aU多只有有限項(xiàng) , 設(shè)這些項(xiàng)的最大下標(biāo)為 N, 這就表 返回 后頁 前頁 { an } 的有限多項(xiàng) , 則稱數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實(shí)數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價(jià)說法 , 寫成定義就是 : 定義 139。( ?aU而在 之外 , { an } 至多只有有限項(xiàng) ( N 項(xiàng) ). )。 天下篇 》 引用了 一句話 : “一尺之棰 , 日取其半 , 萬世不竭” . 它的 意思是 : 一根長為一尺的木棒 , 每天截下一半 , 這 返回 后頁 前頁 21 1 1 1, , , , , .2 2 2 2nn??????或容易看出 : 數(shù)列 1122nn??????的通項(xiàng) 隨著 n 的無 限增 大而無限趨于 0 . 返回 后頁 前頁 三、收斂數(shù)列的定義 下面給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義 . 定義 1 {}na設(shè) 為一個(gè)數(shù)列 , a 為一個(gè)常數(shù) , 若對(duì)于 任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當(dāng) n N 時(shí) , 0? ?,|| ??? aa n則稱數(shù)列 收斂于 a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限 , {}na {}na一般地說 ,對(duì)于數(shù)列 , 若當(dāng) n 充分變大時(shí) , an {}na能無限地接近某個(gè)常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . {}na返回 后頁 前頁 記作 lim nn aa?? ?( , ) .na a n? ? ?或若 不收斂 , 則稱 為 發(fā)散數(shù)列 . {}na {}naxa1?Na1a 2a??a ??a( )na注 定義 1 這種陳述方式，俗稱為 “ ? N ”說法 . 返回 后頁 前頁 四、按定義驗(yàn)證極限 以說明 , 希望大家對(duì) “ ? N ”說法能 有正確的認(rèn)識(shí) . 例 1 用定義驗(yàn)證 : 1lim 0 .n n???分析 對(duì)于任意正數(shù) ,? 要使 1 0,n ? ? ?只要 .1??n證 對(duì)于任意的正數(shù) ? , 1 ,N ??? ?????取 ,nN?當(dāng) 時(shí)1 0,n ???所以 1li m 0 .n n???為了加深對(duì)數(shù)列收斂定義的了解 , 下面結(jié)合例題加 返回 后頁 前頁 lim 0 ( 0 | | 1 ) .nn qq?? ? ? ?例 2 用定義驗(yàn)證 分析 對(duì)于任意的正數(shù) ?, 要使 | 0 | ,nq ???只要 lo g .lo g | |n q??這就證明了 lim 0 .nn q?? ?| 0 | .nq ???證 0 ( 0 1 ) ,??不 妨 設(shè)
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