【正文】 為 在 上 的 上 確 界 與 下 確令 ,...: 10 bxxxaT n ????? 則 ? ?Tii x? ??? ????? ??Tii x.22 ??? ???[ , ] .f a b由 可 積 準(zhǔn) 則 , 在 上 可 積例 2 證明黎曼函數(shù) 1, ( , ) ,()0 , 0, 1 ( 0, 1 )px p qqqRxx???? ?? ??互 素及 中 的 無(wú) 理 數(shù)[0 , 1]在 上可積 ,且 10 ( ) d 0 .R x x ??證 10 , [ 0 , 1 ] 2q ?? 在 中滿足? ? ?的有理數(shù) pr q?只有有限多個(gè) ,設(shè)它們?yōu)? 12 [ 0 , 1 ]{ , , , } .kr r r 對(duì)作分割 01: 0 1 ,nT x x x? ? ? ? ?.2T k??使 12{ , , , }kT r r r中含 的小區(qū)間至多有 2k 個(gè) ,記為 ? ?.i?? 因此這些小區(qū)間長(zhǎng)度之和為 Δ ? ?? ? ? ??i?由于在 ?? 12{ , , , } { } .kiT r r r ?中不含 的區(qū)間記為 ??? ? ii x? ? ? ?????????? iiii xx ???? ??????? ii xx 221 ?.22 ??? ???0 ( ) ,2Rx ?上 于是?? .2?? ???i 從而 ( ) .Rx這 就 證 明 了 的 可 積 性( ) ,Rx由于已證得 可積 而且無(wú)理數(shù)具有稠密性,1[ , ] ( 1 , 2 , , )i i ix x i n?因此可取 皆為無(wú)理數(shù),???10 0 1( ) d l i m ( ) Δ 0.niiTiR x x R x?? ?????從而作業(yè) 習(xí)題 2 167。 3 可積條件 判別一個(gè)函數(shù) f (x) 在 [a, b]上是否可積 ,就是判別 的性質(zhì) （ 例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等 ） 來(lái)判別 ? ??0 1l i m ( )niiTifx??極限 是否存在 .在實(shí)際應(yīng)用中， 直接按定義來(lái)判定是困難的 .我們希望由函數(shù)本身 函數(shù)的可積性 .為此 ,先給出可積準(zhǔn)則 ,并以此證明 有界性是可積的必要條件而非充分條件 ,連續(xù)性是 可積的充分條件而非必要條件 . 定理 (可積必有界） 若函數(shù) 在 上可積，則 在 上必有界 . ff ],[ ba],[ ba證 設(shè) .d)( Jxxfba??由定義 , 對(duì) 1 0 0, , T , T? ? ?只要 無(wú)論? ? ? ? ?1Δ 1niiif ( ) x J ,?????于是 1[ , ] ( 1 , 2 , , ) ,i i ix x i n?與 如何選取 都有???? 1[ , ] . kkxx 上無(wú)界 令() Δ ,iiikG f x??? ?? ??? 1 ,k k kxx?故必存在 滿足1Δ 1niiif ( ) x J M .??? ? ??( ) .kkMGfx? ???( ) [ , ]f x a b倘若 在 上無(wú)界，,k則必有 ()fx使得 在于是 1() Δniiifx???矛盾 . 以下例子告訴我們 , 有界性并不是可積的充分條 件 . () Δ () Δk k i iikf x f x????? ?Δ ,kkMG x G Mx??? ? ?1Q [ , ] , 1 , 2 , , ,i i ix x i n? ?? ? ?現(xiàn) 任 取 則11() Δ Δ 1.nni i iiiD x x???????R , 0 ,J ?? ? ? ?證 若 D(x) 在 [a, b] 上可積 , 則 11() Δ .2niiiD x J?????(1 )Dx試用反證法證明: 狄利克雷函數(shù)例 在任何[ , ] .ab區(qū)間 上不可積,T ?當(dāng)時(shí)? ?? 1[ , ] ,i i ixx?對(duì)任何 有于是 11() Δ () Δ 1,nni i i iiiD x D x????????而這與 11() Δ () Δnni i i iiiD x D x???????1111() Δ () Δ 122nni i i iiiD x J D x J????? ? ? ? ? ? ???1[ , ] \ Q , 1 , 2 , , ,i i ix x i n?又 任 取 則???1() Δ 0.niiiDx????相矛盾 , 所以 [ , ]( ) .abDx 在 上不可積,...: 10 bxxxaT n ?????稱(chēng) 為 f 關(guān)于分割 T 的 上和 ,其中 1() ΔniiiS T M x?? ?? ?1s u p ( ) | [ , ] , 1 , 2 , 。 2 牛頓－萊布尼茨公式 若質(zhì)點(diǎn)以速度 v = v (t) 作變速直線運(yùn)動(dòng) ,由定積分 ( ) d ( ) ( ) .bas v t t s b s a? ? ??注意到路程函數(shù) s(t) 是速度函數(shù) v (t ) 的原函數(shù) , ( ) dbas v t t? ?定義 ,質(zhì)點(diǎn)從時(shí)該 a到 b所經(jīng)過(guò)的路程為 . 另一方面 , 質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻 a 到時(shí)刻 b 所經(jīng)過(guò)的路 ( ) ( ) ,s t v t? ? 于是 程記為 s(b) s(a), 則 因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)了 , 這就是下 面的牛頓 — 萊布尼茨公式 . 定理 (牛頓 — 萊布尼茨公式 ) 函數(shù) f 在 [a, b] 上滿足條件 : (i) f 在 [a, b] 上連續(xù) , (ii) f 在 [a, b] 上有原函數(shù) F, 則 (1) f 在 [a, b] 上可積 。 Chapt 9 定積分 教學(xué)目標(biāo)： 1. 熟練掌握定積分概念以及牛頓－萊布尼茨公式； 2. 掌握可積條件； 3. 掌握定積分的性質(zhì)以及微積分學(xué)基本定理 . 問(wèn)題 1: 曲邊梯形的面積 問(wèn)題 2: 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 存在定理 廣義積分 定積分 定積分 的性質(zhì) 定積分的 計(jì)算法 牛頓 萊布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfba ???167。 1 定積分的概念 在很多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題中，經(jīng)常需要 求一類(lèi)特殊和式的極限 : 這類(lèi)特殊極限問(wèn)題導(dǎo)出了定積分的概念 . ? ??0 1l i m ( ) ,Tniiifx? ?? ?( , ) | [ , ] , 0 ( ) .A x y x a b y f x? ? ? ?( ) , [ , ] ,y f x x a b??1. 設(shè) 求曲邊梯形 A 的面積 S (A), 其中 y x O ? ?xfy ?()SAa b實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積） 一分為二 y x O ? ?xfy ?()SAa b1x一分為四 y x O ? ?xfy ?a b1x 2x 3x()SA一分為八 y x O ? ?xfy ?a b81x?1x 3x()SA一分為 n 可以看出小矩形面積之和越來(lái)越接近于曲邊梯形 的面積 . y x O ? ?xfy ?a b1x ix1ix? 1nx?i?()SA過(guò)程呢？ 這可以分四步進(jìn)行 . 1. 分割： 把曲邊梯形 A 分成 n 個(gè)小曲邊梯形 , 21 nAAA ?a 1x 2x 1?nx b即在 上插入 個(gè)分點(diǎn) 1 2 1{ , , , } ,nx x x ?[ , ]ab 1n?1 2 1 ,na x x x b?? ? ? ? ?如何嚴(yán)格地定義這一越來(lái)越逼近曲邊梯形面積的 0 , nx a x b??為 方 便 起 見(jiàn) ， 記 ，? ? ? ?0 1 0, , , Δ , Δ .nnT x x x T用 或 = 來(lái) 記 這 個(gè) 分 割? ? ? ?11[ , ] , Δ , 1 , 2 , ,i i i i i ix x x x x i n? ，??? ? ? ?11[ , ] , [ , ] ( )i i i i ix x x x f x? 在 上 把 近 似 看 作 常 數(shù)???( ) ( ) Δ .i i i i if A S f x??. 此 時(shí) 的 面 積 約 為11( ) ( ) Δ .nni i iiiS A S f x???????2. 近似代替 : iA把 小 曲 邊 梯 形 近 似 看 作 矩 形 , 任 取1() Δ .niiifx?上 述 和 式 稱(chēng) 為 積 分 和 或 黎 曼 和??3. 求和 : 4. 取極限： 不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是 S 總有差別 . 當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，和式 1() Δniiifx???問(wèn)題是： ( 1 ) 如 何 刻 畫(huà) 分 割 越 來(lái)越細(xì)？ 1( 2 ) ( ) Δ ?niiif x S?如 何 刻 畫(huà) 越 來(lái) 越 逼 近 于??就會(huì)越來(lái)越小 . S與 的 差 距下面依次討論這兩個(gè)問(wèn)題 . 1() Δniiifx??? 與曲邊梯形的面積 矩形，因此黎曼和 0 0 1( 1 ) : ,nT a x x x b? ? ? ? ?對(duì) 于 一 般 的 不 能來(lái)表示分割 T 越來(lái)越細(xì) ,因?yàn)榭赡苣承? n ??用? ?m ax Δ 1 , 2, , .iT x i n??1( 2 ) ( ) Δ ,niiif x S?要 刻 畫(huà) 能 無(wú) 限 逼 近 需 對(duì) 任 意??? 1[ , ]iixx區(qū) 間 要 保 證 每 個(gè) 區(qū) 間的長(zhǎng)度不趨于 0 . 1[ , ] 0 ,iix x T的 長(zhǎng) 度 趨 于 需 引 細(xì) 度入 分 的 :割 ( 模 )?0T則 當(dāng) 時(shí) ,?就能保證分割越來(lái)越細(xì) . ? ? 1m ax Δ , [ , ] ,i i i iT x x x??時(shí) 對(duì) 任 意 ?? ? ?都 有???1() Δ ,niiif x S??－0,? ?給定的 能夠找到 0,? 使 得 當(dāng)?? ?? ?0 1l i m ( ) Δ .niiTiS f x?即 實(shí)例 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度 )( tvv ? 是時(shí)間間隔 ],[21 TT上 t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( ?tv ，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 . 思路 ：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值． （ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??1???? iii tttiii tvs ??? )(?部分路程值 某時(shí)刻的速度 （ 3）求和 iinitvs ?? ??)(1?（ 4）取極限 },m ax { 21 nttt ???? ??inii tvs ?? ???)(lim10??路程的精確值 （ 2）近似代替 定義 1 [ , ] R .f a b J設(shè) 是 定 義 在 上 的 函 數(shù) ， ?0 0 1:, nT a x x x b? ? ? ? ?0 0 ,??? ? ? ?若 ，對(duì) 任 意 分 割[ , ]f a b則 稱(chēng) 在 上 可 積 ，并稱(chēng) J 為 f 在 [a,b]上的 ? ????1 , , 1 , 2 , , ,i i ix x i n?及任意 0 1( ) d l i m ( ) Δ .nba T iJ f x x f xii?? ?? ? ??定積分 ,記作 ? ?m a x iTx ??當(dāng) 時(shí) , 必 有??1( ) ,niiif x J???????,ab分 變 量 , 分 別 為 積 分 下 限 和 上 限 .f其 中 稱(chēng) 為 被 積 函 數(shù) ,x 為 積[ , ]ab 為 積 分 區(qū) 間, ( )fx由 定 義 曲 邊 為 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 為? ? ( ) d .baS f x x()vt速 度 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 路 程 為? ? ( ) d .bas v t t0 1l i m ( ) ΔniiTiJ f x?表 達(dá) 式? ?? ?注 1 nT不 僅 與 和 有列極限，也不是函數(shù)極限 . 注 2 [