【正文】 nnn bbbba故對時）當（ ,1,13 ??? n ana 1lim ???nn a.1）（ ?a2定 義 l i m 0, { } .nnn aa?? ?若 則 為 無 窮 小 數(shù) 列稱? ?21! .1 nnn qqnn例 和 是 無 窮 小 數(shù) 列 當 時 ,如 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?{}2 . 1 }{nna a a a數(shù) 列 收 斂 于 的 充 要 條 件 是 :定 理 ?以下定理顯然成立 ,請自證 . 五、無窮小數(shù)列和無窮大數(shù)列 是 無 窮 小 數(shù) 列 .是 無 窮 小 數(shù) 列 .,大 數(shù) 列 記 作lim .nn a?? ??,窮 大 數(shù) 列 負 無 窮 大 數(shù) 列或 分 別 記 作l i m l i m .nnnnaa? ? ? ?? ?? ? ??或3定 義 { } 0 ,naG設 是 一 數(shù) 列 , 若 對 任 意 總 存 在 正?, , , { }nnN n N a G a整 數(shù) 使 無則 稱 窮得 任 意 是??, , { }n n n na G a G a G a若 改 為 或 則 稱 正 無是? ? ? ?六、一些例子 為了更好地理解 定義 , 再舉一些例題 . ”“ N??例 5 證明 發(fā)散 . })1({ n?又因 a 是任意的 , 所以 發(fā)散 . a 為極限 . }{ na證 對于任意實數(shù) a, 取 ,210 ?? :})1({}{ 滿足nna ??之外有無限多 )21,21(,)0(0 ???? aaaa 在時當所以由定義 139。 任給 , 若在 之外至多只有 0?? )。 1)1(1 1 ??? ?n n?????? ?? ?nn 1)1(1例如： ,101對 .10?n只須 ,1011)1(11?????nn要使即 自然數(shù) 10，當 n10時，有 .1011)1(1 1 ???? ?nn?,10001對 .1 0 0 0?n只須 ,1000 11)1(11 ???? ?nn要使,10000001對 .1 0 0 0 0 0 0?n只須 ,1000000 11)1(1 1 ???? ?n n要使… … 由不等式有 ，故只須 即可 . 以上還不能說明 任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù) . 1)1(1 1 ??? ?n n,0?? ?對 .1)1(1 1 才行要使 ????? ?n n??n1 ?1?n 自然數(shù) ，當 時，便有 ??? ,0?即對 ]1[? ]1[??n.1)1(1 1 ????? ?n n?定量定義： 則稱數(shù) 1是 的極限 . 有時當總?cè)魧?，Nn，N ????? ]1[,0 ??.1)1(1 1 ????? ?n n ?????? ?? ?n n 1)1(1三、收斂數(shù)列的定義 下面給出嚴格的 “ ? N ”數(shù)學定義 . 定義 1 {}na設 為一個數(shù)列 , a 為一個常數(shù) , 若對于 任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當 n N 時 , 0??,|| ??? aa n則稱數(shù)列 收斂于 a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限 , {}na {}na一般地說 ,對于數(shù)列 , 若當 n 充分變大時 , an {}na能無限地接近某個常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . {}na記作 lim nn aa?? ?( , ) .na a n? ? ?或若 不收斂 , 則稱 為 發(fā)散 數(shù)列 . {}na {}na “? N ”說法 從 定義 及上面的例題我們可以看出 : 此外，又因 ? 是 任意正數(shù) , 所以 等?,2,3,2 ???1. ? 的任意性 : 定義中的 ? 用來 刻畫數(shù)列 {an} 的通 項與定數(shù) a 的接近程度 . 顯然正數(shù) ? 愈小 ,表示 a n 與 a 接近的程度愈高； ? 是任意的 , 這就表示 an 與 a 可以任意接近 .要注意， ? 一 旦 給出，在接下 來計算 N 的過程中， 它 暫時看作是確定不變的 . ??? || aa n可以用 ?Kaa n ?? || ( K 為某一正常數(shù) ) 來代替 . 定義 1, 那么對 ? ? 1 自然也可以驗證成立 . 均可看作任意正數(shù) , 故定義 1 中的不等式 2. N 的相對性 :從定義 1 中 又 可看出 , 隨 著 ? 的取值 不同 , N 當然也會不同 . 但這并不意味著 N 是由 再有 , 我們還可以限定 ? 小于某一個正數(shù) ( 比如 ? 1 ). 事實上 , 對 0 ? 1 若能驗證 { an } 滿足 ,|| ??? aa n則當 n N1 = 2N 時 , 對于同樣的 ? , 更應有 ? 惟一確定 . 例如 , 當 n N 時 , 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . .|| ??? aa n也就是說 , 在這里只是強調(diào) N 的存在性 , 而不追 x1x2x 2?Nx1?Nx 3x數(shù)列極限的幾何解釋 : ??a ??aa.)(。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當 n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 二、一個經(jīng)典的例子 樣的過程可以無限制地進行下去 . 我們把每天截下部分 (或剩下部分 ) 的長度列出： 第一天截下 ,21 第二天截下 21 ,2 第 n天截下 1 ,.2n 這樣就得到一個數(shù)列 : 古代哲學家莊周所著的 《 莊子 極限思想方法是數(shù)學分析必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學分析與初等數(shù)學的本質(zhì)區(qū)別之處。對任何一個圓內(nèi)接正多邊形來說，當它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就 “ 變 ” 成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。 1 數(shù)列極限的概念 一、數(shù)列的定義 五、再論 “ ? N ”說法 四、按定義驗證極限 三、收斂數(shù)列的定義 二、一個經(jīng)典的例子 六、一些例子 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽 割圓求周長 播放 極限思想： 三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率 圓周長 割圓術！ ?“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽 割圓求周 三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率 圓周長 割圓術！ ? 極限思想： “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽 割圓求周 三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率 圓周長 割圓術！ ? 極限思想： “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽 割圓求周 三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限方法訂正、計算圓周率 圓周長 割圓術！ ? 極限思想： “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” ——劉徽 割圓求周 三國時期，數(shù)學家劉徽應用極限