【正文】 f 稱為被積函數(shù) , x 稱為積分變量 , [ a , b] 稱為積分 區(qū)間 , a、b 分別 稱為 這 個(gè)定積分的下限和上限 .以上定義 1 至定義 3 是定積分抽象 概念 的完 整敘述 .下 面是 與定積 分概 念 有關(guān)的幾點(diǎn)補(bǔ)充注釋 .注 1 把定積分定 義的 ε δ說法和 函數(shù)極限 的ε δ說法相 對(duì)照 , 便會(huì) 發(fā) 現(xiàn)兩者有相似的陳述方式 , 因此我們也常用極限符號(hào)來表達(dá)定積分 , 即把它寫作J = lim‖ T‖ → 0n∑i = 1b∫f (ξi )Δxi = f ( x )d x . ( 4)a然而 , 積 分 和 的 極 限 與 函 數(shù) 的 極 限 之 間 其 實(shí) 有 著 很 大 的 區(qū) 別 : 在 函 數(shù) 極 限limx → af ( x) 中 , 對(duì)每一個(gè)極限變量 x 來說 , f ( x ) 的值是唯 一確定 的 。1 定積分概念 一 問題提出不定積分和定積分是積分學(xué)中的兩 大基 本問 題 .求不定 積分 是求導(dǎo) 數(shù)的 逆 運(yùn)算 , 定積分則是某種特殊和式的極 限 , 它們 之間 既有區(qū) 別又 有聯(lián)系 .現(xiàn) 在先 從 兩個(gè)例子來看定積分概念是怎樣提出來的 .1 . 曲邊梯形的面積 設(shè) f 為閉區(qū) 間 [ a , b] 上 的連 續(xù)函 數(shù) , 且 f ( x ) ≥ 0 . 由曲線 y = f ( x ) , 直線 x = a , x = b 以及 x 軸所 圍成 的平 面圖 形 ( 圖 9 1) , 稱 為曲邊梯形 .下面討論曲邊梯形的面積 ( 這是求任何曲線邊界圖形面積的基礎(chǔ) ) .圖 9 1 圖 9 2在初等數(shù)學(xué)里 , 圓面積是用一系列邊 數(shù)無 限增多 的內(nèi) 接 ( 或 外切 ) 正 多邊 形 面積的極限來定義的 .現(xiàn)在我們?nèi)杂妙愃频霓k法來定義曲邊梯形的面積 .在區(qū)間 [ a , b] 內(nèi)任取 n 1 個(gè)分點(diǎn) , 它們依次為a = x0 x1 x2 xn 1 x n = b,這些點(diǎn)把 [ a , b] 分割成 n 個(gè)小區(qū)間 [ xi 1 , xi ] , i = 1 , 2 , , n .再用 直線 x = xi , i = 1 , 2 , , n 1把曲邊梯形分割成 n 個(gè)小曲邊梯形 ( 圖 9 2 ) .在每個(gè)小區(qū)間 [ xi 1 , xi ] 上任取一點(diǎn) ξi , 作 以 f (ξi ) 為高 , [ x i 1 , xi ] 為底 的 小矩形 .當(dāng)分割 [ a , b] 的分點(diǎn)較多 , 又分割得較細(xì)密時(shí) , 由于 f 為連續(xù)函 數(shù) , 它 在 每個(gè)小區(qū)間上的值變化不大 , 從而可 用這些 小矩 形的 面積近 似替 代相應(yīng) 小曲 邊167。1 定積分概念201梯形的面積 .于是 , 這 n 個(gè)小矩形 面積 之和 就可 作為 該曲 邊梯 形 面積 S 的近 似 值 , 即nS ≈ ∑i = 1f (ξi )Δxi (Δ xi = xi xi 1 ) . ( 1) 注意到 (1 ) 式右邊的和式既依賴于對(duì)區(qū)間 [ a , b] 的分割 , 又與所 有中間點(diǎn) ξi ( i = 1 , 2 , , n ) 的 取法 有關(guān) .可 以 想象 , 當(dāng) 分點(diǎn) 無 限增 多 , 且 對(duì) [ a , b] 無限 細(xì) 分 時(shí) , 如果此和式與某一常數(shù)無限接近 , 而且與分點(diǎn) xi 和中間點(diǎn)ξi 的選取無關(guān) , 則 就把此常數(shù)定義作為曲邊梯形的面積 S .2 . 變力所作 的 功 設(shè) 質(zhì) 點(diǎn) 受 力 F 的 作 用沿 x 軸由點(diǎn) a 移動(dòng)到點(diǎn) b, 并設(shè) F 處處平行 于 x 軸 ( 圖 9 3 ) .如 果 F 為 常力 , 則它 對(duì) 質(zhì)點(diǎn)所作的功為 W = F( b a) .現(xiàn)在的問題是 ,圖 9 3F 為變力 , 它連續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐 標(biāo) x , 即 F = F( x) , x ∈ [ a , b] 為 一 連續(xù)函數(shù) , 此時(shí) F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功 W 又該如何計(jì)算 ?由假設(shè) F( x ) 為一 連續(xù) 函數(shù) , 故在 很小 的一 段位 移 區(qū)間 上 F( x ) 可以 近 似 地看作 一 常 量 .類 似 于 求 曲 邊 梯 形 面 積 那 樣 , 把 [ a , b] 細(xì) 分 為 n 個(gè) 小 區(qū) 間 [ xi 1 , xi ] ,Δ xi = xi xi 1 , i = 1 , 2 , , n 。 而 對(duì)于積分 和的極限而言 , 每一個(gè)‖ T‖并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值 .這使得積 分和的極 限 要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多 .注 2 可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì) .稍后 ( 定理 9 .3) 就會(huì)知道連續(xù)函數(shù)是 可積的 , 于是本節(jié)開頭兩個(gè)實(shí)例都可用定積分記號(hào)來表示 :1) 連 續(xù) 曲 線 y = f ( x) ≥ 0 在 [ a , b] 上 形 成 的 曲 邊 梯 形 面 積 為167。 對(duì)于一般非定號(hào)的 f ( x ) 而 言 ( 圖 9 4 ) , 定積 分 J 的 值則是曲線 y = f ( x ) 在 x 軸 上方 部分所 有曲 邊梯 形的 正面 積與 下 方部 分所 有 曲邊梯形的負(fù)面積的代數(shù)和 .注 4 定積分作為積分和的極限 , 它的值只與被積函數(shù) f 和積分區(qū)間 [ a, b]有關(guān) , 而與積分變量所用的符號(hào)無關(guān) , 即b b b∫f ( x) d x =∫f ( t ) d t =∫f (θ) dθ = .a a a 例 1 求 在 區(qū) 間 [ 0 , 1 ] 上 , 以拋 物 線 y = x2 為 曲 邊 的 曲 邊 三 角 形 的 面 積( 圖 9 5) . 解 由注 3 , 因 y = x2 在 [ 0 , 1] 上連 續(xù) , 故所 求面積為1S =∫ x2 d x = limnii∑ξ2Δ x .0 ‖ T‖ → 0i = 1為求得此極限 , 在定 積 分 存 在的 前 提 下 , 允 許 選 擇某種特殊的分割 T 和特殊的點(diǎn)集 {ξi } .在此只 需取等分分割 :T = { 0 , 1, 2, , n 1 , 1} , ‖ T‖ = 1 。 (3 )0bex d x?！?ii = 1所以 f 在 [ a , b] 上可積 , 且有公式 (1 ) 成立 .注 1 在應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式時(shí) , F( x ) 可由積分法求得 .注 2 定理?xiàng)l件尚可適當(dāng)減弱 , 例如 :1) 對(duì) F 的要 求可 減 弱為 : 在 [ a , b] 上連 續(xù) , 在 ( a , b) 內(nèi) 可導(dǎo) , 且 F′( x ) =f ( x) , x∈ ( a , b) .這不影響定理的證明 .2) 對(duì) f 的要 求可 減 弱為 : 在 [ a, b] 上可 積 ( 不 一定 連 續(xù) ) .這 時(shí) ( 2 ) 式 仍 成∫b立 , 且由 f 在 [ a , b] 上可積 , (2 ) 式右 邊當(dāng) ‖ T ‖→ 0 時(shí)的 極限 就是 f ( x ) d x ,a而左邊恒為一常數(shù) .( 更一般的情形參見本節(jié)習(xí)題第 3 題 .)注 3 至167。ba x224∫)sin x d x。 ( 2)01 x d x 。 ( 6)0 4x + 1xd x。n→ ∞ n4( 2) limn 1 + 1 + + 1 。Δ xk G = M .Δxk由此可見 , 對(duì)于無論多小的‖ T ‖ , 按上 述 方法 選取 點(diǎn)集 {ξi } 時(shí) , 總 能使 積分 和 的絕對(duì)值大于任何預(yù)先給出的正數(shù) , 這與 f 在 [ a, b] 上可積相矛盾 .208 第九章 定 積 分這個(gè)定理指出 , 任何可積函數(shù)一 定是 有界的 。6) .i i i i i設(shè) ω = M m , 稱為 f 在 Δ 上的振幅 , 有必要時(shí)也記為 ωf .由于nS( T ) s( T) = ∑ωiΔxi ( 或記為∑ωiΔ xi ) ,因此可積準(zhǔn)則又可改述如下 :i = 1 T定理 9 .3′ 函數(shù) f 在 [ a , b] 上 可 積的 充要 條件 是 : 任 給 ε 0 , 總存 在相 應(yīng) 的某一分割 T , 使得∑ωiΔ xi ε . ( 2′)T 不等式 (2 ) 或 ( 2′) 的幾 何意 義 是 : 若 f 在 [ a , b] 上 可 積 , 則 圖 9 7 中 包 圍 曲 線 y = f ( x) 的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到 任意 小 , 只要分割充分地細(xì) 。 2 + ∑ωiΔ xi 2 + 2 = ε .T T′所以 f 在 [0 , 1 ] 上可積 .事實(shí)上 , 例 2 的第二種證法并不限于該例中的具體函數(shù) , 更一般的命題見本 節(jié)習(xí)題第 4 題 .下面例 3 的證明思想與它可謂異曲同工 .例 3 證明黎曼函數(shù)f ( x ) = 1q , x = pq , p、q 互素 , q p ,在區(qū)間 [0 , 1 ] 上可積 , 且0 , x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 內(nèi)的無理數(shù)∫1f ( x) d x = 0 .0分析 已 知 黎曼 函 數(shù) 在 x = 0 , 1 以 及一切無理 點(diǎn)處 連續(xù) , 而 在 ( 0 , 1 ) 內(nèi) 的 一 切有理點(diǎn)處 間斷 .證 明它 在 [ 0 , 1 ] 上 可 積 的直觀構(gòu)思如下 : 如圖 9 9 所示 , 在黎 曼函數(shù)的圖象中畫一條水平直線 y = ε .在2圖 9 9此直線上方只有函數(shù)圖象中有限個(gè)點(diǎn) , 這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的自變量可被含于屬于分割 T 的有限 個(gè)小區(qū)間 中 , 當(dāng)‖ T ‖足夠 小212 第九章 定 積 分時(shí) , 這有限個(gè)小區(qū)間的總長(zhǎng) 可為任 意小 。2i = 1∑i = 1ε而 f 在 Δ″i 上的振幅 ω″i ≤ 2 , 于是n mn mε ε∑ω″iΔ x″i ≤i = 1把這兩部分合起來 , 便證得∑Δ x″i .22i = 1n m n m∑ωiΔxi = ∑ω′iΔx′i + ∑ω″iΔx″i ε,i = 1即 f 在 [0 , 1 ] 上可積 .i = 1i = 1因?yàn)橐呀?jīng)證得 f 在 [0 , 1 ] 上可積 , 所 以當(dāng)取 ξi 全為無 理點(diǎn)時(shí) , 使 f (ξi ) = 0 ,從而1n∫ f ( x) d x = lim ∑ f (ξi )Δ xi = 0 .0 ‖ T ‖ → 0 i = 1習(xí) 題1 . 證明: 若 T′是 T 增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割 , 則 ∑ω′iΔx′i ≤ ∑ωiΔ xi .T′ T2 . 證明: 若 f 在 [ a , b]上可積 , [α,β] 204。4 定積分的性質(zhì) 一 定積分的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 若 f 在 [ a , b] 上可積 , k 為常數(shù) , 則 k f 在 [ a , b] 上也可積 , 且∫ ∫bk f ( x ) d x = ka 證 當(dāng) k = 0 時(shí)結(jié)論顯然成立 .當(dāng) k≠0 時(shí) , 由于nbf ( x) d x . ( 1)an∑ k f (ξi )Δ xi kJ = | k |∫g( x ) d x . ( 2)a a a 證明與性質(zhì) 1 類同 , 留給讀者 .性質(zhì) 1 與性質(zhì) 2 是定積分的線性性質(zhì) , 合起來即為ba∫[αf ( x ) + βg ( x ) ] d x = ∫α其中 α、β為常數(shù) .b∫f ( x) d x + βabg( x )d x ,a性質(zhì) 3 若 f 、g 都在 [ a , b] 上可積 , 則 f f ( x′) f ( x″) + f ( x″) ε2 B+ A3T習(xí)題第 1 題 , 又有i Δ x i ≤ ∑ωiΔ xi ε .T * T 分割 T * 在 [ a, c] 和 [ c, b] 上的部分 , 分別 構(gòu)成對(duì) [ a , c] 和 [ c, b] 的分 割 , 記 為 T′和 T″, 則有167。4 定積分的性質(zhì)217= 2 e 1 + 1 = ( e 1 + 1 ) .∫0 注 1 上述解法中取 10∫f ( x ) d x = 1(2 x 1 ) d x , 其中被積函數(shù)在 x = 0處 的值已由原來