數(shù)學(xué)分析之反常積分-文庫吧
2025-07-06 09:48 本頁面
【正文】 im a r c s in 0aa?????????????.2??例 7 計(jì)算廣義積分 解 .ln21? xx dx?21 ln xx dx 210l imlndxxx?? ? ??? ?210( l n )l imlndxx?? ? ??? ? ? ? 210l im l n ( l n )x ?? ? ???? ?0l im l n( l n 2) l n( l n( 1 ) )????? ? ?,? ?? 故原廣義積分發(fā)散 . 例 8 計(jì)算廣義積分 解 .)1(30 32? ?xdx1?x 瑕點(diǎn) ? ?30 32)1( x dx22331301( 1 ) ( 1 )d x d xxx??????? ?10 32)1( x dx23100l im( 1 )dxx?? ??????3?? ?31 32)1( x dx23310l im( 1 )dxx?? ? ?????,23 3??? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??作業(yè) 習(xí)題 2 167。 2 無窮積分的性質(zhì)及收斂判別 一、無窮積分的性質(zhì) 本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì) ,并用這些 性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法 . 二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法 三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法 ( ) da f x x??? 收斂的充要條件是 : 0 , ,Ga?? ? ? ?1 2 21( ) d ( ) d ( ) d .u u ua a uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?一、無窮積分的性質(zhì) 12,u u G?當(dāng) 時(shí)證 ( ) ( ) d , [ , ) , ( ) duaaF u f x x u a f x x??? ? ? ???設(shè) 則l i m ( ) .u Fu? ? ?收 斂 的 充 要 條 件 是 存 在 極 限 由 函 數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則 ,此等價(jià)于 (無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則 )無窮積分 定理 1 2 1 20 , , , , ( ) ( ) ,G a u u G F u F u??? ? ? ? ? ? ? ?1 2 21( ) d ( ) d ( ) d .u u uaua f x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?性質(zhì) 1 1 2 1 2( ) d ( ) d , ,aaf x x f x x k k? ? ? ???若 與 都 收 斂為任意常數(shù) ,則 ? ?1 1 2 2( ) ( ) da k f x k f x x?? ??即 根據(jù)反常積分定義 ,容易導(dǎo)出以下性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2. ,也 收 斂 且? ?1 1 2 2( ) ( ) da k f x k f x x?? ??( ) d ( ) d ( ) ,abf x x f x x b a? ? ? ? ???? 與( ) d ( ) d ( ) d .ba a bf x x f x x f x x? ? ? ???? ? ?同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 ， 且性質(zhì) 2 [ , ]f a u若 在 任 何 有 限 區(qū) 間 上 可 積 , 則1 1 2 2( ) d ( ) d .aak f x x k f x x? ? ? ?????h(x) 在任意 [a, u]上可積 , 且 ( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ??? 和( ) d .a h x x???都 收 斂 , 則 收 斂證 因?yàn)? ( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ??? 和收斂 ,由柯西準(zhǔn)則的必要性 , 120 , , ,G a u u G?? ? ? ? ? ? ?例 1 ),[),()()( ????? axxgxhxf , f (x), g (x), 若 1221( ) d , ( ) d ,uuf x x g x x??????2 2 21 1 1( ) d ( ) d ( ) d ,u u uu u ug x x h x x g x x??? ? ? ? ?? ? ?再由柯西準(zhǔn)則的充分性 , ( ) d .a h x x???證 得 收 斂即21( ) d .uu h x x ???( ) ( ) ( ) ,f x h x g x又 因 為 所 以??[ , ) , ( ) d .uau a f x x M? ? ? ? ??二、非 負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法 l i m ( ) .u Fu? ??條 件 是 存 在 12( ) 0 ,f x u u??由 于 當(dāng) 時(shí) ，2 1 21( ) d ( ) d ( ) d 0,u u ua a uf x x f x x f x x? ? ?? ? ?定理 (非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法 ) 設(shè)定義在 上的非負(fù)函數(shù) f 在任何 [ , )a ?? [ , ] ,au 上 可 積 則( ) da f x x??? 收斂的充要條件是 : 0,M?? 使證 ( ) ( ) d ,uaF u f x x? ? ( ) da f x x???則 收 斂 的 充 要設(shè) [ , ) , ( ) d .uau a f x x M? ? ? ? ??有( ) ( ) , [ , ) ,f x g x x G? ? ? ?非負(fù)函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)間 [a, u]上可積 , 且 定理 (比較判別法 ) 設(shè)定義在 上的兩個(gè) [ , )a ??增 函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則 , l i m ( )u Fu? ? ? 存 在 的 充 要 條從而 F (u) 是單調(diào)遞增的 ( [ , ) ) .ua? ??由單調(diào)遞 ( ) [ , )F u a ??件 是 在 上 有 界 ,0,M??即 使存在 滿足 ,Ga?證 ( ) da g x x???若 收 斂 ,0 , [ , ) ,M u a? ? ? ? ? ?則( ) d .ua g x x M??( ) d ( ) d .uuaaf x x g x x M????因 此由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法 , ( ) da f x x??? 收 斂 .( ) d , ( ) daaf x x g x x? ? ? ???當(dāng) 發(fā) 散 時(shí) 亦 發(fā) 散 .( ) d , ( ) daag x x f x x? ? ? ???則 當(dāng) 收 斂 時(shí) 亦 收 斂 。第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題 ,因此也成立 . 516d1xx????收 斂 .例 2 判別 516d1xx???? 的收斂性 . 22( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ???明 : 若 和 收 斂 , 則( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂解 651d xx???由 于 收 斂 , 因 此656511 .1 xx??顯然 設(shè) f (x), g(x) 是 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) . 證 [ , )a ??例 3 2222( ) ( ) 1 1d ( ) d ( ) d2 2 2a a af x g x x f x x g x x?? ?? ??? ??? ? ?( ) ( ) d .a f x g x x???收 斂 , 因 此 收 斂推論 1 設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和 g 在任何 [a,u] 上可積 , 且 ()l i m .()xfx cgx? ?? ?)i( 0 ( ) d ( ) daac f x x g x x? ? ? ?? ? ? ? ??若 ， 則 與 收 斂 性 相 同 。證 22( ) ( )( ) ( ) ,2f x g xf x g x ?? 而由于 ( ii ) 0 , ( ) d ( ) daac g x x f x x? ? ? ?? ??若 則 由 收 斂 可 得 收 斂 。( ii i ) , ( ) d ( ) daac g x x f x x? ? ? ?? ? ? ??若 則 由 發(fā) 散 可 得 發(fā) 散 .證 ()( i ) l i m 0, , ,()x fx c G a x Ggx? ?? ? ? ? ? ?由 故 存 在 使 有() ,( ) 2f x ccgx ??即 3( ) ( ) ( ) .22ccg x f x g x??( ) d , ( ) d2aa cf x x g x x? ? ? ???若 收 斂 則 可 得 收 斂 , 從 而( ) d ( ) d ,aag
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