【正文】 逆否命題 ,因此也成立 . 516d1xx????收 斂 .例 2 判別 516d1xx???? 的收斂性 . 22( ) d ( ) daaf x x g x x? ? ? ???明 : 若 和 收 斂 , 則( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂解 651d xx???由 于 收 斂 , 因 此656511 .1 xx??顯然 設 f (x), g(x) 是 上的非負連續(xù)函數(shù) . 證 [ , )a ??例 3 2222( ) ( ) 1 1d ( ) d ( ) d2 2 2a a af x g x x f x x g x x?? ?? ??? ??? ? ?( ) ( ) d .a f x g x x???收 斂 , 因 此 收 斂推論 1 設非負函數(shù) f 和 g 在任何 [a,u] 上可積 , 且 ()l i m .()xfx cgx? ?? ?)i( 0 ( ) d ( ) daac f x x g x x? ? ? ?? ? ? ? ??若 ， 則 與 收 斂 性 相 同 。在論文 “ 關于三角級數(shù)的收斂性 ” 中得到給定函數(shù)f(x)的 Fourier級數(shù)收斂的第一充分條件 .1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)－ Dirichlet函數(shù)。1855年被選為英國皇家學會會員。 1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到 哥廷根 大學任教。數(shù)學家們有辦法紀念他們中的偉人，我們常說阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法等。 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 定理 （瑕積分收斂的柯西準則） 21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?( ) d ( )ba f x x a?瑕 積 分 瑕 點 為 收 斂 的 充 要 條 件 是證 ( ) ( ) d , ( , ) , ( ) dbbuaF u f x x u a b f x x????設 則l i m ( ) .ua Fu??收 斂 的 充 要 條 件 是 存 在 由 函 數(shù) 收 斂 的1 2 1 2, ( , ) ( ) ( ) ,u u a a F u F u??? ? ? ? ?，120 , 0 , , ( , )u u a a? ? ?? ? ? ?任 給 存 在 當 時 ，柯西準則，此等價于 0 , 0 ,??? ? ? ?21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?即性質(zhì) 1 1 2 1 2,f f x a k k?設 函 數(shù) 與 的 瑕 點 同 為1 1 2 2( ( ) ( ) ) d ,ba k f x k f x x?? 也 收 斂 且12, ( ) d ( ) d ,bbaaf x x f x x??為 任 意 常 數(shù) 若 和 都 收 斂 則1 1 2 2( ( ) ( ) ) dba k f x k f x x??1 1 2 2( ) d ( ) d .bbaak f x x k f x x????性質(zhì) 2 , ( , ) ,f x a c a b??設 函 數(shù) 的 瑕 點 若 則( ) d ( ) d ,bcaaf x x f x x?? 與 同 時 收 斂 或 同 時 發(fā) 散 且( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 3 , ( , ]f x a f a b?設 函 數(shù) 的 瑕 點 為 在 的 任 一, ( ) , ( ) d ,bau b u a f x x? ?閉 區(qū) 間 [] 上 可 積 則 收 斂 時( ) d , ( ) d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x?? ? ?也 收 斂 且定理 (非負函數(shù)瑕積分的判別法 ) ( , ] ( ) ,a b f x若 定 義 在 上 的 非 負 函 數(shù) 在 任 意 閉 區(qū) 間[ , ] ( ) , ( ) dbau b u a f x x? ?上 可 積 則 收 斂 的 充 要 條 件( , ] , ( ) d .buM u a b f x x M?? ?是 : 存 在 ， 對 任 意定理 (比較法則 ) ( , ] ,a b f g設 定 義 在 上 的 兩 個 非 負 函 數(shù) 與 瑕 點 同, [ , ] ( , ]x a u b a b??為 在 任 何 上 都 可 積 , 且 滿 足( ) ( ) , ( , ] .f x g x x a b??( ) d , ( ) d 。 2 1 , 1J a p a a? ? ? ? ? ?且 時 收 斂 而 當 即 且( ) 0 1 .aa? ??所 以 , 只 有 當 時 才 是 收 斂 的例 4 101si n.x dxx?判 別 廣 義 積 分 的 收 斂 性解 也收斂．從而 dxxx? 101s i n11si n 1| | ,dxxx x x? ?０而 收 斂 ，101si n|| x dxx?收 斂 ，根據(jù)比較審斂原理 , 思考題 積分 的瑕點是哪幾點？ ? ?10 1ln dxx x思考題解答 積分 可能的瑕點是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx1lnlim1 ?? xxx? ,11lim1??? xx 1?? x 不是瑕點 , ? ?? 10 1ln dxx x的瑕點是 .0?x一、 填空題：1 、 廣義積分???1pxdx當 _______ 時收斂；當 ___ ___ 時發(fā)散；2 、 廣義積分?10qxdx當 _______ 時收斂；當 ___ ____ 時發(fā)散；3 、 廣義積分 ???2)( lnkxxdx在 ______ 時收斂；在 ____ ___ 時發(fā)散； 4 、廣義積分 ? ?? ?? ? dxxx 21 ____ ( 收斂 , 發(fā)散 ) ； 練 習 題 5 、 廣義積分 ???10 21 xxdx___ __ _ __ ；6 、 廣義積分 ???xdttf )( 的幾何意義是 ______ __ ___ __ _ ___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___ .二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計算廣義積分的值：1 、 ????0co s h td tept )1( ?p ； 2 、 ??????? 222xxdx ；3 、 ????0dxexxn（ 為自然數(shù)n ）； 4 、 ??202)1( xdx；5 、??211xx d x； 6 、 ????022)1(lndxxxx；7 、 ?10ln xdxn.三、 求當 為何值時k ，廣義積分 )()(abaxdxbak???收斂？又 為何值時k ，這廣義積分發(fā)散？四、 已知???????????????xxxxxf2,120,210,0)( ，試用分段函數(shù)表示 ???xdttf )( .一、 1 、 1,1 ?? pp ； 2 、 1,1 ?? qq ； 3 、 1,1 ?? kk ；4 、發(fā)散； 5 、 1 ； 6 、過點 軸平行于 yx 的直線左邊 , 曲線 )( xfy ? 軸和 x 所圍圖形的面積 .二、 1 、12?pp； 2 、 ? ； 3 、 !n ； 4 、發(fā)散； 5 、322 ； 6 、 0 ； 7 、 !)1( nn? .三、當 1?k 時收斂于kabk???1)(11； 當 1?k 時發(fā)散 .四、???????????????????xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.練習題答案 作業(yè) 習題 4