數(shù)學(xué)分析之反常積分(已修改)
2025-08-20 09:48 本頁(yè)面
【正文】 Chapt 11 反常積分 教學(xué)目標(biāo)： ； ； . 167。 1 反常積分概念 一、反常積分的背景 反常積分討論的是無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣 . 二、兩類反常積分的定義 一、反常積分的背景 在討論定積分時(shí)有兩個(gè)最基本的條件：積分區(qū) 間 但以下例子告訴我們有時(shí)我們需要考慮無窮區(qū)間 例 1(第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火 的有窮性 。 被積函數(shù)的有界性 . 上的“積分”或無界函數(shù)的“積分” . 箭 , 要使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球 , 試問初 速度 v0 至少要多大？ 解 設(shè)地球半徑為 R,火箭質(zhì)量為 m,地面上的 重 處火箭所受的引力為 222 ()m g R G M mF m gxR??于是火箭從地面上升到距地心為 處需作功 ? ?Rr ?.11d 222?????? ??? rRm g Rxxm g RrR? ?Rx ?力加速度為 g, 按萬(wàn)有引力定理 , 在距地心 r ? ? ?當(dāng) 時(shí) ,其極限 mgR 就是火箭無限遠(yuǎn)離地 ?? 的 積 分2222d l i m d .rRR rm gR m gRx x m gRxx??? ??????由機(jī)械能守恒定律可求初速度 至少應(yīng)使 0v201 .2 m v m g R?269 . 8 1 ( m / s ) , 6 . 3 7 1 1 0 ( m )gR用 代 入 , 得? ? ?0 2 11 .2 ( k m / s ).v gR??球需作的功 , 于是自然把這一極限寫作上限為 例 2 圓柱形桶的內(nèi)壁高為 h,內(nèi)半徑為 R,桶底有 2 ( ) .v g h x??在時(shí)間 d t內(nèi) ,桶中液面降低的微小量為 d x,它們 ? ? ? ?22d d , 0 , .2Rt x x hr g h x???解 桶內(nèi)水位高度為 時(shí) ,流出水的速度為 hx?一半徑為 r 的小孔．試問從盛滿水開始打開小孔 直至流完桶中的水 ,共需多少時(shí)間？ 22π d π d,R x v r t?因此 之間應(yīng)滿足 于是流完一桶水所需時(shí)間為 ? ?220d.2h Rtxr g h x???但由于被積函數(shù)是 上的無界函數(shù) ,所以它的 ? ?h,0? ?220l i m d2uuhRtxr g h x?????? ?222limuhRh h ug r??? ? ?確切含義為 22.hRgr??? ????二、兩類反常積分的定義 區(qū) 間 [a, u] 上可積 . 若存在極限 lim ( ) d ,uau f x x J? ? ? ??則稱此極限 J 為函數(shù) f 在 上的 無窮限 反 ? ???,a( ) d ,aJ f x x??? ?( ) d ,a f x x???并 稱 收 斂 ( ) d .a f x x???否 則 稱 發(fā) 散定義 1 設(shè)函數(shù) f 定義在 [ a, +?)上 , 且在任何有限 常積分 (簡(jiǎn)稱無窮積分 ),記作 類似定義 ( ) d lim ( ) d ,bb uuf x x f x x?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,aaf x x f x x f x x).a ? ? ? ?其 中 是 ( ， 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn)域 內(nèi)無 界 , 但在任何內(nèi)閉區(qū)間 [u, b] 上有界且可積 . 如 果存 在極限 lim ( ) d ,buua f x x J?? ??定義 2 設(shè)函數(shù) f 定義在 (a, b] 上 , 在 a 的任意右鄰 則稱此極限為無界函數(shù) f 在 (a, b] 上的反常積分 , ( ) d ,baJ f x x? ?( ) dba f x x則 稱 發(fā) 散 .?( ) dba f x x并 稱 收 斂 .? lim ( ) d ,buua f x x若 極 限 不 存 在?? ?類似定義瑕點(diǎn)為 b 時(shí)的瑕積分 ( ) d lim ( ) d .buaa ubf x x f x x?????? ( ) dba f x x又 稱 為 瑕 積 分 .通常稱 a 為 f 的瑕點(diǎn) , 記作 其中 f 在 [a, b) 有定義 , 在 b 的任一左鄰域內(nèi)無界 , ( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?lim ( ) d lim ( ) d .ubavu c v cf x x f x x????????若 f 的瑕點(diǎn) , 定義 ( , )c a b?( ) d ( ) d , ( ) dc b ba c af x x f x x f x x? ? ?若 和 都 收 斂 則 稱.收 斂[ , ] [ , ]a u a b?在任何 上可積 . 例 1 討論無窮積分 1d .pxx??? 的 收 斂 性O(shè) xy111py x?1p?1p?1p?1p?1p?1p?11, 1 ,d1lim, 1.upupxpxp? ? ?? ?? ???? ? ? ???解 ? ?111d1 , 1 ,11,l n ,pupx uppxpu??? ??? ? ?? ???因 此 ,則無窮積分的牛頓 － 萊布尼茨公式可寫作 若 f (x) 的原函數(shù)為 F (x), ( ) d ( ) ,aa f x x F x?? ????解 21e d e e ,pt pt pttt t Cp p? ? ?? ? ? ??例 2 討論無窮積分 ? ?0 e d 0 .ptt t p?? ? ?? 的 收 斂 性2001e d e ept pt pttttpp????? ? ???? ? ??????因此 ( ) ( ) l i m ( ) ( ) .uF F a F u F a? ??? ?? ? ? ?2211( 0 0 ) 0 .pp??? ? ? ? ?????例 3 討論瑕積分 ? ?10 d 0qx qx ?? 的收斂性 . 解 ? ?11 1 1 , 1d1ln , 1 ,qquuqxqxuq?? ????? ?? ????110 0d d 10 1 , l i m 。1qq uuxxqqxx ??? ? ? ? ???故 當(dāng) 時(shí)10d1 , .qxqx? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) 發(fā) 散同樣 , 若 f (x) 的原函數(shù)為 F (x), 瑕積分的牛頓 萊 ( ) d ( ) ( ) ( )b baa f x x F x F b F a? ?? ? ??( ) l i m ( ) .uaF b F u????例 4 計(jì)算瑕積分 10 ln d .xx?解 10 ln dxx? 的瑕點(diǎn)為 0. 因此 , ? ?11 10 0ln d lim ln dx x x x x? ?? ??????? ? ? ?0li m 0 ln 1 1.? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???布尼茨公式寫作 例 5 計(jì)算廣義積分 .1 2? ???? ? xdx解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1l i m? ?0a r c t a nl i m aa x???? ? ?bb x 0a r c t a nlim ????aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nl i m????( ) .22?? ?? ? ? ? ?例 6 計(jì)算廣義積分 解 ).0(0 22??? axa dxa221l im ,xa ax??? ? ??ax ?? 為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn) .? ?a xa dx0 222200l im a dxax?? ??????0 0l im a r c s inaxa?? ??????????0l
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