【文章內容簡介】 x x g x x? ? ? ??? 收 斂 . 反 之 , 若 收 斂 可 得3 ( ) d ( ) d .2c g x x f x x? ? ? ?收 斂 , 從 而 收 斂()( i i ) l i m 0, , ,()xfx G a x Ggx? ?? ? ? ? ?由 存 在 使 有( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x??? ? ? ? ?即 因 此 由 收 斂( ) d .a f x x???可 推 得 收 斂() 1,()fxgx ?()( i i i ) l i m , , ,()xfx G a x Ggx由 存在 使 有? ?? ? ?? ? ? ?( ) ( ) , [ , ) , ( ) daf x g x x G g x x??? ? ? ? ?即 因 此 由 發(fā) 散( ) d .a f x x???可 推 得 發(fā) 散1( i ) ( ) ( 1 ) , ( ) dp af x p f x xx???? ?若 則 收 斂 。推論 2 設 f 是定義在 上的非負函數 , 在任何 [ , )a ??[ , ]au有 限 區(qū) 間 上 可 積 .() 1,()fxgx ?)i( 1 , 0 , ( ) dap f x x? ?? ? ? ? ? ?當 時 收 斂 。)ii( 1 , 0 , ( ) d .ap f x x? ?? ? ? ? ? ?當 時 發(fā) 散l i m ( ) ,px x f x ?? ? ? ?若 則限區(qū)間 [a, u] 上可積 . 推論 3設 f 是定義在 上的非負函數 ,在任何有 [ , )a ??1( ii ) ( ) ( 1 ) , ( ) d .p af x p f x xx???? ?若 則 發(fā) 散說明 : 推論 3是推論 2的極限形式 . 例 4 討論 1ln dkpx xx??? 的收斂性 ( k 0 ). 解 (i) ,1 時?p12 lnlimp kpxxxx?? ??? 12lnl i m 0.pkxxx ?? ? ???1ln px xx???因 此 由 推 論 3 知 道 收 斂)ii( 1ln1 , l i m l i m l n .kpkpxxxp x x xx?? ?? ? ??? ? ? ? ??時???1ln px xx因 此 發(fā) 散若無窮積分 ( ) d , ( ) daaf x x f x x? ? ? ??? 收 斂 則 稱以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性 . 三、一般函數無窮積分的判別法 何 有限區(qū)間 [a, u]上可積 , ( ) d , a f x x???且 收 斂 則( ) da f x x 亦必收斂, 并且???( ) d ( ) d .aaf x x f x x? ? ? ????定理 (絕對收斂的無窮積分必收斂 ) 若 f 在任 絕 對 收 斂 .210 , , ,G a u u G?? ? ? ? ? ?當 時21( ) d ,uu f x x ???因此 2211( ) d ( ) d .uuf x x f x x ?????再由柯西準則的充分性 , ( ) da f x x???推 知 收 斂 .( ) d lim ( ) d ( ) d .ua a auf x x f x x f x x? ? ? ?? ? ???? ? ?又對任意 ( ) d ( ) d ,uuaaf x x f x x??? 于 是,ua?證 ( ) d ,a f x x??? 收 斂由柯西準則的必要性 , 對 因 1si n d()x xx a x????因 此 絕 對 收 斂 .收斂的無窮積分 ( ) da f x x??? 不一定是絕對收斂的 . ( ) d | ( ) | d ,aaf x x f x x? ? ? ???若 收 斂 而 發(fā) 散 則 稱( ) da f x x??? 條 件 收 斂 .例 5 1si n d ( 0 )()x xax a x?? ??? 的收斂性 . 判別 解 sin 1 ,()xx a x x x???而3211 d xx??? 收 斂 ,由于 一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷 判 定理 (狄利克雷判別法） ( ) ( ) duaF u f x x? ?若0 ( ) ( ) d .a f x g x x???單 調 趨 于 ， 則 收 斂[ , ) ( ) [ , )a g x a x? ? ? ? ? ? ?在 上 有 界 ， 在 上 當 時l i m ( ) 0 ,x gx? ?? ?[ , ) , ( ) d . 0 ,uau a f x x M ?? ? ? ? ? ??設 由 于證 , , ( ) .4G a x G g x M?? ? ?存 在 時故 別法和阿貝爾判別法判別其收斂性 . ,g因 為 單 調 函 數 由 積 分 第 二 中 值 定 理 對 任 意 的2211 12( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ,uuf x g x x g u f x x g u f x x? ???? ? ?2 2 .44 MMMM?? ?? ? ? ? ?22( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????11( ) ( ) d ( ) duaag u f x x f x x?????2112( ) ( ) d ( ) ( ) duug u f x x g u f x x? ??? ??21( ) ( ) duu f x g x x?2 1 1 2, [ , ] ,u u G u u?? ? ? ?使得 于 是因此 , 由柯西準則， ( ) ( ) d .a f x g x x??? 收 斂 狄利克雷 Dirichlet,18051859德國數學家，解析數論的創(chuàng)始人之一。著有 《 數論講義 》 ,對 Gauss的 《 算術研究 》 作出了清楚的解釋并有自己的獨創(chuàng)。他證明了在任何算術序列{a+nb}(其中 a與 b互素 )中 ,必存在無窮多個素數 ,這就是著名的 Dirichlet定理。他在分析學和數學物理方面也有很多重大貢獻。在論文 “ 關于三角級數的收斂性 ” 中得到給定函數f(x)的 Fourier級數收斂的第一充分條件 .1829，他給出了具有典型意義的函數－ Dirichlet函數。這一工作使得數學從研究函數的計算轉變到研究函數的概念、性質和結構。 他在 1837年證明了：對一個絕對收斂級數，可以把它的項加以組合重新排列，而不改變原級數的和，并舉例說明對一個條件收斂級數則不然。他修改了 Gauss關于位函數論的一個原理，引入了所謂 Dirichlet原理。還論述了著名的第一邊值問題（現稱為 Dirichlet問題）。 Dirichlet是 Gauss的學生和繼承人。 柏林大學與哥廷根大學教授。 1831年被選為普魯士科學院院士 。1855年被選為英國皇家學會會員。 他畢生敬仰 Gauss的講課是一生所聽過的最好、最難忘的課。 1855年， Gauss逝世后，他作為 Gauss的繼承者被 哥廷 根大學聘為教授，接替 Gauss原任的職務，直到逝世。 狄利克雷生活的時代，德國的數學正經歷著以Gauss為前導的、由落后逐漸轉為興旺發(fā)達的時期。狄利克雷以其出色的數學教學才能，以及在數論、分析和數學物理等領域的杰出成果，成為高斯之后與雅可比 (Jacobi)齊名的德國數學界的一位核心人物。 1828年，狄利克雷來到學術空氣較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學院。同年，他又被聘為柏林大學編外教授（后升為正式教授），開始了他在柏林長達 27年的教學與研究生涯。由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，循循善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數學家，對德國在 19世紀后期成為國際上又一個數學中心產生了巨大影響。 1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到 哥廷根 大學任教。與在柏林繁重的教學任務相比，他很欣賞在 哥廷 根有更多自由支配的時間從事研究。可惜美景不長， 1858年夏，他去瑞士蒙特勒開會，作紀念高斯的演講，在那里突發(fā)心臟病。狄利克雷雖平安返回了 哥廷根 ，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，于 1859年春與世長辭。 阿 貝 爾 （ Abel, 18021829） 阿貝爾是 19世紀挪威出現的最偉大數學家，一生在貧窮的環(huán)境中掙扎，他在生之日