數(shù)學(xué)分析之反常積分-預(yù)覽頁
【正文】 得到給定函數(shù)f(x)的 Fourier級(jí)數(shù)收斂的第一充分條件 .1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)－ Dirichlet函數(shù)。還論述了著名的第一邊值問題（現(xiàn)稱為 Dirichlet問題）。1855年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。狄利克雷以其出色的數(shù)學(xué)教學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的杰出成果，成為高斯之后與雅可比 (Jacobi)齊名的德國(guó)數(shù)學(xué)界的一位核心人物。 1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到 哥廷根 大學(xué)任教。 阿 貝 爾 （ Abel, 18021829） 阿貝爾是 19世紀(jì)挪威出現(xiàn)的最偉大數(shù)學(xué)家，一生在貧窮的環(huán)境中掙扎，他在生之日希望能有一個(gè)固定的職業(yè)使他能安定生活和做研究，并且希望能和他喜愛的一個(gè)女郎結(jié)婚。數(shù)學(xué)家們有辦法紀(jì)念他們中的偉人，我們常說阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法等。這個(gè)結(jié)果在 1799年被意大利數(shù)學(xué)家魯芬尼得到，但他的證明并不充分完整，現(xiàn)在數(shù)學(xué)上把以上的結(jié)果稱為阿貝爾－－魯芬尼定理。 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 定理 （瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則） 21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?( ) d ( )ba f x x a?瑕 積 分 瑕 點(diǎn) 為 收 斂 的 充 要 條 件 是證 ( ) ( ) d , ( , ) , ( ) dbbuaF u f x x u a b f x x????設(shè) 則l i m ( ) .ua Fu??收 斂 的 充 要 條 件 是 存 在 由 函 數(shù) 收 斂 的1 2 1 2, ( , ) ( ) ( ) ,u u a a F u F u??? ? ? ? ?，120 , 0 , , ( , )u u a a? ? ?? ? ? ?任 給 存 在 當(dāng) 時(shí) ，柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于 0 , 0 ,??? ? ? ?21 2 1( ) d ( ) d ( ) d .b b uu u uf x x f x x f x x ?? ? ?? ? ?即性質(zhì) 1 1 2 1 2,f f x a k k?設(shè) 函 數(shù) 與 的 瑕 點(diǎn) 同 為1 1 2 2( ( ) ( ) ) d ,ba k f x k f x x?? 也 收 斂 且12, ( ) d ( ) d ,bbaaf x x f x x??為 任 意 常 數(shù) 若 和 都 收 斂 則1 1 2 2( ( ) ( ) ) dba k f x k f x x??1 1 2 2( ) d ( ) d .bbaak f x x k f x x????性質(zhì) 2 , ( , ) ,f x a c a b??設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 若 則( ) d ( ) d ,bcaaf x x f x x?? 與 同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 且( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 3 , ( , ]f x a f a b?設(shè) 函 數(shù) 的 瑕 點(diǎn) 為 在 的 任 一, ( ) , ( ) d ,bau b u a f x x? ?閉 區(qū) 間 [] 上 可 積 則 收 斂 時(shí)( ) d , ( ) d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x?? ? ?也 收 斂 且定理 (非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法 ) ( , ] ( ) ,a b f x若 定 義 在 上 的 非 負(fù) 函 數(shù) 在 任 意 閉 區(qū) 間[ , ] ( ) , ( ) dbau b u a f x x? ?上 可 積 則 收 斂 的 充 要 條 件( , ] , ( ) d .buM u a b f x x M?? ?是 : 存 在 ， 對(duì) 任 意定理 (比較法則 ) ( , ] ,a b f g設(shè) 定 義 在 上 的 兩 個(gè) 非 負(fù) 函 數(shù) 與 瑕 點(diǎn) 同, [ , ] ( , ]x a u b a b??為 在 任 何 上 都 可 積 , 且 滿 足( ) ( ) , ( , ] .f x g x x a b??( ) d , ( ) d 。1( i i ) ( ) , 1 , ( ) d .()bp af x p f x xxa?? ? ?當(dāng) 時(shí) 發(fā) 散推論 2 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負(fù) 函 數(shù) 定 義 在 上 為 瑕 點(diǎn) 且推論 3 ( , ] , ,f a b a設(shè) 非 負(fù) 函 數(shù) 定 義 于 為 瑕 點(diǎn) 且 在 任[ , ] ( , ] li m ( ) ( ) ,pxau b a b x a f x ???? ? ?何 上 可 積 . 若 則( i) 0 1 , 0 ( ) dbap f x x?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 收 斂 。 2 1 , 1J a p a a? ? ? ? ? ?且 時(shí) 收 斂 而 當(dāng) 即 且( ) 0 1 .aa? ??所 以 , 只 有 當(dāng) 時(shí) 才 是 收 斂 的例 4 101si n.x dxx?判 別 廣 義 積 分 的 收 斂 性解 也收斂．從而 dxxx? 101s i n11si n 1| | ,dxxx x x? ?０而 收 斂 ，101si n|| x dxx?收 斂 ，根據(jù)比較審斂原理 , 思考題 積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ ? ?10 1ln dxx x思考題解答 積分 可能的瑕點(diǎn)是 ? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx1lnlim1 ?? xxx? ,11lim1??? xx 1?? x 不是瑕點(diǎn) , ? ?? 10 1ln dxx x的瑕點(diǎn)是 .0?x一、 填空題：1 、 廣義積分???1pxdx當(dāng) _______ 時(shí)收斂；當(dāng) ___ ___ 時(shí)發(fā)散；2 、 廣義積分?10qxdx當(dāng) _______ 時(shí)收斂；當(dāng) ___ ____ 時(shí)發(fā)散；3 、 廣義積分 ???2)( lnkxxdx在 ______ 時(shí)收斂；在 ____ ___ 時(shí)發(fā)散； 4 、廣義積分 ? ?? ?? ? dxxx 21 ____ ( 收斂 , 發(fā)散 ) ； 練 習(xí) 題 5 、 廣義積分 ???10 21 xxdx___ __ _ __ ；6 、 廣義積分 ???xdttf )( 的幾何意義是 ______ __ ___ __ _ ___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___ .二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計(jì)算廣義積分的值：1 、 ????0co s h td tept )1( ?p ； 2 、 ??????? 222xxdx ；3 、 ????0dxexxn（ 為自然數(shù)n ）； 4 、 ??202)1( xdx；5 、??211xx d x； 6 、 ????022)1(lndxxxx；7 、 ?10ln xdxn.三、 求當(dāng) 為何值時(shí)k ，廣義積分 )()(abaxdxbak???收斂？又 為何值時(shí)k ，這廣義積分發(fā)散？四、 已知???????????????xxxxxf2,120,210,0)( ，試用分段函數(shù)表示 ???xdttf )( .一、 1 、 1,1 ?? pp ； 2 、 1,1 ?? qq ； 3 、 1,1 ?? kk ；4 、發(fā)散； 5 、 1 ； 6 、過點(diǎn) 軸平行于 yx 的直線左邊 , 曲線 )( xfy ? 軸和 x 所圍圖形的面積 .二、 1 、12?pp； 2 、 ? ； 3 、 !n ； 4 、發(fā)散； 5 、322 ； 6 、 0 ； 7 、 !)1( nn? .三、當(dāng) 1?k 時(shí)收斂于kabk???1)(11； 當(dāng) 1?k 時(shí)發(fā)散 .四、???????????????????xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 4
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