【正文】 x???三、單側(cè)極限 ，時在考慮 )(lim0xfxx ?x 既可以從 x0 )( 0xx ?的左側(cè) 但在某些時 .)( 000 xxxx 趨向于的右側(cè)又可以從 ?定義 5 ,)),((),()( 00 有定義在設(shè) ?? xUxUxf ?? ?? A 為常 數(shù) . 若對于任意正數(shù) ? , ,）（存在正數(shù) ??? ?在定義區(qū)間的端點(diǎn)和分段函數(shù)的分界點(diǎn)等 . 候 ,我們僅需 (僅能 )在 x0的某一側(cè)來考慮 , 比如函數(shù) | | ,f x A ???（）則稱 A 為函數(shù) f 當(dāng) 00()x x x x????時的右 (左 ) .))(lim()(lim00AxfAxf xxxx ?? ?? ??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限 , 為了方便起見， ).(lim)0(,)(lim)0(00 00xfxfxfxf xxxx ?? ?? ????時，有當(dāng) )0(0 00 ?? ?????? xxxx極限 ,記作 有時記 例 10 討論函數(shù) .11 2 處的單側(cè)極限在 ??? xx解 因?yàn)? ,1|| ?x ),1(2)1()1(1 2 xxxx ??????.|01| 2 ???? x.01lim 21 ???? xx這就證明了.01l i m 21 ????? xx同理可證所以 有時當(dāng) ,11 ??? x? ,2,02??? ??? 取由定義 ，我們不難得到： 注 試比較定理 與定理 180。)(l i m Axfx ??? 。)(lim0Axfxx ??? .)(l i m0Axfxx ???.)(,0)(lim?????????AxfAxf恒有從此時刻以后時刻過 程 時 刻 從此時刻以后 ??n ??x ???x ???xNNn ? Nx ? Nx ? Nx ??)(xf ??? Axf )(0xx ?????? 00 xx?? 0xx ?? 0xx???? 00 xx 00 ????? xx過 程 時 刻 從此時刻以后 )(xf ??? Axf )(思考題 試問函數(shù)????????????0,50,100,1si n)(2xxxxxxxf 在 0?x 處的左、右極限是否存在？當(dāng) 0?x 時， )( xf 的極限是否存在？思考題解答 ??? )(l i m0 xfx ,5)5(lim 20 ???? xx 左極限存在 , ??? )(l i m0 xfx ,01s i nl i m0 ??? xxx 右極限存在 , ??? )(lim 0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(lim 0 xfx ?? 不存在 . ._ _ _ _ _ _1312 22?????????yzxzxxyx，必有時，只要取，問當(dāng)時，、當(dāng).___421 2????????yxxyx，必有只要時，取，問當(dāng)時，、當(dāng)??證明：二、用函數(shù)極限的定義一、填空題 : 0s inlim221241lim1221?????????xxxxxx、練 習(xí) 題 一、 1 、 ； 2 、 397 . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 6 167。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點(diǎn) x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點(diǎn) x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運(yùn)算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 . 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以例 1 .a r c ta nl im x xx ???求0?例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時又當(dāng) ,0?x因此由迫斂性得 。|)(|,0, 022022 ?? ?????? Axfxxx},m i n{ 01 xxn nn ?? ???,),( 0 ?? xUx ???存在 .|)(| 0?? ?? Axf使,0???,0?這樣就得到一列嚴(yán)格遞減的數(shù)列 ),(}{ 0 ?xUx n ???,|)(|, 00 ???? Axfxx nn 但這與條件矛盾 . 。,2,1,1,111 ?????????????? nnxnnxfn設(shè)兩個分段函數(shù)分別為 1l i m 1 exx x??????????二、 ? ? .,2,1,1,111??????????? ???nnxnnxgn顯然有? ? ? ? .),1[,11 ?????????? ?? xxgxxfx? ? ,e111l i ml i m ?????????? ?????nnx nxf? ? ,e11limlim1??????? ????????nnx nxg因?yàn)? ? ? i m ??????? ????xx x則設(shè)時當(dāng) ,0,0 ???? yyxx所以由函數(shù)極限的迫斂性，得到 .1111111yyxyyx ??????????????? ???????? ? ?所以時，因?yàn)楫?dāng) ,?????? yx.e11lim ??????? ???xx x這就證明了? ? )3(.e1lim 10???ttt注 .0,1 ???? txxt 時則若令 由此可得 在實(shí)際應(yīng)用中，公式 (2)與 (3)具有相同作用 . .e111111lim11lim1???????????????????????? ? ??????? yyxyyxx解 ),3(由公式? ? ? ? .e21lim21lim 2221010??????? ?????xxxxxx.111lim 2nn nn ?????? ????求例 5 解 因?yàn)? ,11111 2nnnnn ?????? ???????? ??1122211111 ????????? ????????? ?? nnnnnnnnn.112122???????? ??? nnnn例 4 xxx10)21(l i m ??求所以由歸結(jié)原則，＝而 ,01,e11lim 2 ???????? ??? nnnnn.e11lim122??????? ?? ???nnn nn.e111lim 2 ??????? ????nn nn再由迫斂性 , 求得 作業(yè) 習(xí)題 2 二、無窮小量階的比較 167。)0()(c os1 ??? xxox0()f x x x?當(dāng) 為 時的無窮小量時，我們記2. 若存在正數(shù) K 和 L，使得在 x0 的某一空心鄰域 )( 0xU ? 內(nèi)，有 ,)()( KxgxfL ??根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當(dāng) 0)( )(lim0???cxg xfxx時，這兩個無窮小量一定是同階的 . 例如 : ,0 時當(dāng) ?x xcos1 ? 與 2x 是同階無窮小量 。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(l i m,)( )(l i m)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(l i m)()(l i m00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因?yàn)?所以 定理 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子 例 1 .2si na r ct a nlim0 xxx ?計算.212l i m2s i na r c t a nl i m00???? xxxxxx解 ),0(2~2sin,~arcta n ?xxxxx因?yàn)?所以 (2) 可以類似地證明 . 可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法 . 例 2 .si n si nta nlim 30 x xxx ??計算解 3030 sinta nlimsin sinta nlim x xxx xx xx ??? ??30)1c o s1(s i nl i mxxxx??? xxxxx co s)co s1(si nlim30???3202limxxxx??? .21?有定義 , 若對于任給 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在 )( 0xU ?| ( ) | ,f x G?.)(l i m0??? xfxx)()。1|)(| 1 ?xf.)(lim ???? nn xf證 ，為無界量時因?yàn)?)(0 xfxx ?所以 ,0??G。1?k得xxx xxxf ????? 32)( 23,32 3222?????xxxx.2])([lim ???? ?? xxfb x得于是求得斜漸近線方程為 （如右圖所示）.2?? xy13?2?? xyO xy1?x3??x思考題 若 0)( ?xf ，且 Axfx????)(l im ，問：能否保證有 0?A 的結(jié)論？試舉例說明 .思考題解答 不能保證 . 例 xxf 1)( ? ,0??x 有 01)( ?? xxf???? )(l i m xfx .01l i m ????? Axx一、填空題 : 1 、凡無窮小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 為極限 ..)(,__________2的水平漸近線是函數(shù)直線條件下、在xfycy??.)0l i m(,)(_ _ _ _ _ _ _)(l i m300????????xxxxAxfAxf其中、.__ _ __ _,)(,4是無窮小則是無窮大若、在同一過程中 xf.10,21,0:4????yxxxyx能使應(yīng)滿足什么條件問是無窮大函數(shù)時當(dāng)二、根據(jù)定義證明練 習(xí) 題 一、 1 、 0 ； 2 、 Cxfxx??????)(lim ； 3 、 ? ； 4 、)(1xf.二、210104??? x .練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 9