【正文】 ,1s g nl i m,1s g nl i m 00 ??? ?? ?? xx xx由于 xx s g nlim 0?所以不存在 . 作為本節(jié)的結(jié)束 ,我們來(lái)介紹兩個(gè)特殊的函數(shù)極限 . 例 11 證明狄利克雷函數(shù) ????無(wú)理數(shù)，有理數(shù)xxxD0,1)(證 00 1R , , .2xA ???對(duì)于任意的 以及任意實(shí)數(shù) 取處處無(wú)極限 . ,||0 0* ???? xx,QR,21||,0 * ???? xA 取若對(duì)于任意的 ?滿足 .21|||)(| 0* ????? AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x? ? ? ? ?若 取 滿 足 則?.21|1||)(| 0* ?????? AAxD這就證明了結(jié)論 . 則 例 12 設(shè)黎曼 函數(shù) .1,0,0,1),(,1)(?????????無(wú)理數(shù)以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x?? ? ?求證證 .10 ?? ??? NN ，使，取一正整數(shù)因?yàn)樵? (0, 1) 中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有 .)(, 21 Knxxx n ??個(gè) , 故可設(shè)這些有理數(shù)為 2 )1( ?? NNK這就是說(shuō)，除了這 n 個(gè)點(diǎn)外 , 其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ,)1( 010 in xxxxx ?可設(shè)中的某一個(gè)是若 ?}.||{mi n},{)2( 0110 xxxxx knkn ??? ???則令若 ?時(shí)，當(dāng)于是 ???? ||0, 0xx對(duì)以上兩種情形都有 .|0)(| ???xR這就證明了 .0)(l i m0?? xRxx；令則 }||{mi n 0,1 xx kiknk ?? ????小于 ? . 所以 例 13 ).(,lim0為常數(shù)證明 CCCxx ??證 CC ? ,成立??,0??任給0? .lim0CCxx ?? ?,0??任取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx例 14 .l i m 00xxxx ??證明證 ,0??任給 ,???取 ,0 0 時(shí)當(dāng) ?????? xx0xx ?,成立??.lim 00xxxx ?? ?例 15 .211l i m21???? xxx證明證 211)(2????? xxAxf? ,0??任給,???只要取,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx函數(shù)在點(diǎn) x=1處沒(méi)有定義 . 1?? x,)( ??? Axf要使,2112?????xx就有.211lim21????? xxx例 16 .lim 00xxxx ?? ?證 0)( xxAxf ????,0??任給},m i n { 00 ??? xx取,0 0 時(shí)當(dāng) ???? xx00xxxx???,)( ??? Axf要使,0 ??? xx就有,0x x??.0 且不取負(fù)值只要 ??? xxx.lim,0: 000xxx xx ?? ?時(shí)當(dāng)證明.lim0不存在驗(yàn)證 xxx ? yx11?o xxxxxx?????? 00l i ml i m左右極限存在但不相等 , .)(lim 0 不存在xfx ??例 17 證 1)1(lim 0 ???? ??xxxxxxx 00l i ml i m???? 11lim0 ?? ??x小結(jié) 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義 。)(lim Anfn ???。)(l i m Axfx ??? 。)(lim Axfx ???? 。)(lim Axfx ????。)(l i m0Axfxx ?? 。)(lim0Axfxx ??? .)(l i m0Axfxx ???.)(,0)(lim?????????AxfAxf恒有從此時(shí)刻以后時(shí)刻過(guò) 程 時(shí) 刻 從此時(shí)刻以后 ??n ??x ???x ???xNNn ? Nx ? Nx ? Nx ??)(xf ??? Axf )(0xx ?????? 00 xx?? 0xx ?? 0xx???? 00 xx 00 ????? xx過(guò) 程 時(shí) 刻 從此時(shí)刻以后 )(xf ??? Axf )(思考題 試問(wèn)函數(shù)????????????0,50,100,1si n)(2xxxxxxxf 在 0?x 處的左、右極限是否存在？當(dāng) 0?x 時(shí)， )( xf 的極限是否存在？思考題解答 ??? )(l i m0 xfx ,5)5(lim 20 ???? xx 左極限存在 , ??? )(l i m0 xfx ,01s i nl i m0 ??? xxx 右極限存在 , ??? )(lim 0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(lim 0 xfx ?? 不存在 . ._ _ _ _ _ _1312 22?????????yzxzxxyx，必有時(shí)，只要取，問(wèn)當(dāng)時(shí)，、當(dāng).___421 2????????yxxyx，必有只要時(shí)，取，問(wèn)當(dāng)時(shí)，、當(dāng)??證明：二、用函數(shù)極限的定義一、填空題 : 0s inlim221241lim1221?????????xxxxxx、練 習(xí) 題 一、 1 、 ； 2 、 397 . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 6 167。 2 函數(shù)極限的性質(zhì) 二、范例 一、 的基本性質(zhì) 在前面一節(jié)中引進(jìn)的六種類型的函數(shù)極限 ,它們都有類似于數(shù)列極限的一些性質(zhì) . 這里僅以 為代表 敘述并證明這些性質(zhì)，至于其它類型的性質(zhì)與證明，只要相應(yīng)作一些修改即可 . 定理 ( 惟 一性 ) 證 不妨設(shè) 以及 Axfxx ?? )(lim 0 .)(l i m 0 Bxfxx ??由極限的定義，對(duì)于任意的正數(shù) , 1?? 存在正數(shù),||0, 102 時(shí)當(dāng) ?? ??? xx(1) ,2|)(| ??? Axf,||0 20 時(shí)當(dāng) ???? xx)(lim0xfxx ? 存在 , 則此極限惟一 . 若 0l i m ( )xx f x A? ?的基本性質(zhì) 一 、 (2) 式均成立，所以 .|)(||)(||| ??????? BxfxfABA由 ? 的任意性，推得 A = B. 這就證明了極限是惟 ,||0,},m in { 021 時(shí)當(dāng)令 ???? ???? xx(1) 式與 一的 . .2|)(| ??? Bxf (2) 定理 （局部有界性） 證 時(shí)，當(dāng)存在取 ??? ????? ||0,0,1 0xx.1|)(| ?? Axf.1|||)(| ?? Axf由此得 ,)(l i m0Axfxx ??若 上在 )()( 0xUxf ?,)( 0xU ?則存在有界 . 這就證明了 在 某個(gè)空心鄰域 上有界 . ),( 0 ?xU ?)(xf注： (1) 試與數(shù)列極限的有界性定理（定理 ） 作一 (2) 有界函數(shù)不一定存在極限； 這上并不是有界的在但 .)2,0(1,11lim)3(1 xxx??說(shuō)明定理中 “局部” 這兩個(gè)字是關(guān)鍵性的 . 比較； 定理 （局部保號(hào)性） 若 ,)0(0)(l i m0???? 或Axfxx則對(duì)任何正數(shù) )( ArAr ??? 或 使得存在 ,)(, 0xU ?.)0)((0)( ????? rxfrxf 或.|)(| ??? Axf.)( rAxf ??? ?由此證得 有對(duì)一切 ,)( 0xUx ??有時(shí)，當(dāng)存在 ?? ???? ||0,0 0xx證 不妨設(shè) . 對(duì)于任何 取 ,rA ???0?A ( 0 , ),rA?定理 （保不等式性） )(lim)(lim00xgxf xxxx ?? 與設(shè)則內(nèi)有且在某鄰域都存在 ,)()()(, 0 xgxfxU ??).(lim)(lim00xgxf xxxx ?? ?證 那么對(duì)于任意設(shè) ,)(l im,)(l im00BxgAxf xxxx ?? ??。)( ??? Axf有時(shí)而當(dāng) ,||0 20 ???? xx .)( ??? Bxg0,? ? 分別存在正數(shù) 12,??使當(dāng) 010 | |xx ?? ? ?時(shí) , 有 滿足時(shí)則當(dāng)令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因?yàn)閺亩?,.2 ???? BA.BA ?且設(shè) ,)(l i m)(l i m00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個(gè)空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(l i m0Axhxx ??那么證 因?yàn)? 所以對(duì)于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時(shí)當(dāng)存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?.)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點(diǎn) 的極限存在，并且就是 A . 。)(l im)(l im)]()([l im)1(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ???。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點(diǎn) x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點(diǎn) x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運(yùn)算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 . 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以例 1 .a r c ta nl im x xx ???求0?例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時(shí)又當(dāng) ,0?x因此由迫斂性得 。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當(dāng),11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時(shí) , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因?yàn)? 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1