[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析答案-展示頁
2025-01-18 01:04本頁面
【正文】 由 ???a dxxg )(發(fā)散可推知 ???a dxxf |)(|也發(fā)散。 無窮積分的性質(zhì)與收斂判別 證明定理 1 定理 （比較法則）設(shè)定義在 [ ),??a 上的兩個(gè)函數(shù) f 和 g 都在任何區(qū)間 ],[ ua 上可積，且滿足 ),[),(|)(| ???? axxgxf ，則當(dāng) ???a dxxg )(收斂時(shí)， ???a dxxf |)(|必收斂（或者，當(dāng) ???a dxxg )(收斂，所以 aA?? ，當(dāng) Auu ?? 12 時(shí)，有 ? ?21 )(uu dxxg ? 。 由于 )(|)(| xgxf ? ， ),[ ???? ax ，因此更有 ? ? ??2121 )(|)(|uu uu dxxgdxxf ? 故 ???a dxxf |)(|收斂。 證 （ I）因?yàn)????????? cxgxfx )(|)(|lim0 ，所以 )(0 c??? ?? 存在 aA? ，使得當(dāng)Ax? 時(shí)，有 ?? ????? cxg xfc )( |)(|0 即 dxxgcxfxggc )()(|)(|)(()(0 ?? ????? （ *） 從而，若 ???a dxxg )(收斂，那么 ??? ?A dxxgc )()( ?收斂。 若 ???a dxxg )(發(fā)散，則 ??? ?A dxxgc )()( ?發(fā)散，而 |,)(|)()(0 xfxgc ??? 故 ???a dxxf |)(| 發(fā)散，即 ???a dxxf ||(| 發(fā)散。 （ ii）在（ *）中令 0?c ，取右半個(gè)不等式，類似可證得結(jié)論。 設(shè) f 與 g 是定義在 [ ),??a 上的函數(shù)，對(duì)任何 au? ，它們?cè)?],[ ua 上都可積。 證由 )(21|| 22 gffg ?? 及 ???a dxxf )(2與 ???a dxxg )(2收斂可知 ??? ?a dxxgf ))(( 22收斂，故 ???a dxxfg )(也收斂。 設(shè) f ， g ， h 是定義在 ),[ ??a 上的三個(gè)連續(xù)函數(shù)，且成立不等式 )()()( xgxfxf ??證明： （ 1）若 ???a dxxh )(與 ???a dxxg )(都收斂，則 ???a dxxf )(也收斂； （ 2）又若 ? ??? ?? ??a a Adxxgdxxh )()(，則 ???a dxxf(
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