【正文】 如圖 155 所示 . 顯然 f 是按段光滑的 , 因此可以展開成傅里 葉級數(shù) . 15 5?圖Oyx()y f x?3π? π? 3π2π? 2ππ10? 0c? [0, 2 ]?在 ( )中令 , 在 上計算傅里葉系數(shù)如下 : 2 π0 01 ( )dπa f x x? ?? ? ???π 2 π220 π11 d ( ) dππx x x x222π 7 π 2 π ,33? ? ? ?? ? 2 π01 ( ) c o s dπna f x nx x? ? ???π 2 π220 π11 c o s d ( ) c o s dππx nx x x nx x????? ? ?????????π23201 2 2s i n c osπxx n x n xn n n24 [ ( 1 ) 1 ] ,nn? ? ?? ? 2 π01 ( ) sin dπnb f x nx x??? ? ?????2 π232π1 2 2s i n c osπxx n x n xn n n? ? ???π 2 π220 π11 sin d ( ) sin dππx nx x x nx xπ23201 2 2c os s i nπxx n x n xn n n????? ? ? ????????? 2 π232π1 2 2c os s i nπxx n x n xn n n??? ? ? ????????? ??? ? ? ? ????? ??????2232 π π 2 1 ( 1 ) .πnn n n所以當 ( 0 , π )( π ,2 π )x ? 時 , ???? ? ? ? ????2214() π [ ( 1 ) 1 ] c o snnf x nxn??? ? ? ? ? ?????22211π 8 c o s c o s 3 c o s 535x x x? ? ????? ?? ? ? ? ? ??????? ??? ?2232 π π 2 1 ( 1 ) si nπn nxn n n22232 π 3 π 4(3 π 4 ) sin sin 2 sin 3π 2 3 3x x x? ??? ? ? ? ?? ?????2πsi n 4 .4 x ??? ??當 πx ? 時 , 由于 ( π 0 ) ( π 0) 0,2ff? ? ? ?所以 ??? ? ? ? ? ?????22 2 21 1 10 π 8 . ( 14 )1 3 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221( ( 0 0 ) ( 0 0 ) )211( ( 2 π 0 ) ( 0 0 ) ) ( 4 π 0 ) 2 π ,22ffff因此 當 0x ? 或 時 , 由于 2π222 2 21 1 12 π π 8 . ( 15)1 3 5??? ? ? ? ? ? ?????由 (14)或 (15)都可推得 ? ? ? ?22 2 21 1 1 π .1 3 5 8注 上式提供了一個計算 π 的方法 . 還可以找出其他 展開式來計算 π , 關(guān)鍵是收斂速度要快 . 例 3 在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波 (如圖 156所示 ), 反映的是一種復雜的周期運動 , 用傅里葉級數(shù)展開 后 , 就可以將復雜的矩形波看成一系列不同頻率的 簡諧振動的疊加 . ()fx 2π設(shè) 是周期為 的矩形波函數(shù) ( 圖 156 ), O xyππ4?π4?15 6圖π?[ , )?? ?在 上的表達式為 π, π 0,4()π,0 π .4xfxx?? ? ? ???? ?? ????求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開式 . 解 由于 ()fx是奇函數(shù) , 積分區(qū)間是對稱區(qū)間 [ π, π]? , 所以 π0 π1 ( ) d 0 ,πa f x x????π ππ 012 π( ) sin d sin dπ π 4nb f x nx x nx x?????π01 1 1c os ( 1 c os π )22 n x nnn? ? ? ? ?1, 1 , 3, 5, ,0 , 2, 4, 6, .nnn???? ?? ??于是當 π , 0 , πx ?? 時 , ππ1 ( ) c o s d 0,πna f x nx x??11( ) sin sin 3 sin( 2 1 ) .3 2 1f x x x n xn? ? ? ? ? ??當 π , 0 , πx ?? 時 , 級數(shù)收斂到 0( 實際上級數(shù)每一項都為 0 ). 21012xy36 / 5 s i n ( x )/ ? + . . . + 36 / 65 s i n ( 13 x )/ ?O xyππ4?π4?15 7圖π??1n?2n?7n例 4 將函數(shù)????????????xxxxxf0,0,)( 展開為傅里 葉級數(shù) . 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件 . 拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式在 收斂于 . )(xf],[ ???xyo ??? ?2??2?? ????? nx d xxfa n co s)(10011( ) c o s c o sx n x d x x n x d x?????? ? ???)1( co s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn? ????? dxxfa )(100011() x d x x d x?????? ? ???,??????????????????,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk? ????? nx d xxfb n s in)(10011( ) s in s inx n x d x x n x d x?????? ? ???,0??????????12 )12co s ()12(142)( n xnnxf()x??? ? ?所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為 ),2,1( ??n2141 c o s ( 2 1 ) ,2 ( 2 1 )nnn??????? ? ? ???當 πx ?? 時 , 由于 ? ? ? ?? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff當 πx ? 時 , 由于 ??? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn????? ? ? ???2221118 3 5? ? ? ? ?即0,x ?當 時 由 于? ? ? ? ?11( ( 0 + 0 ) ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) 0 ,22ff利用傅里葉級數(shù)展開式可求出幾個特殊級數(shù)的和 ,)12c o s ()12( 142)(12?????????nxnnxf?,4131211 222 ???????設(shè)21 22111,3 5 8?? ? ? ? ? ?,614121 2222 ?????? ,4131211 2223 ???????,44212???? ???? ,243212??? ???212 ,6?? ? ?? ? ? 23 1 2 .12?? ? ?? ? ?四、小結(jié) ，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理； 數(shù)． 作業(yè) 習題 7 上節(jié)討論了以 2? 為周期 , 或定義在 (?, ?) 上 ,然后作 2?周期延拓的函數(shù)的傅里葉展開式 . 本節(jié)討論更有一般性的以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開式 , 以及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉展開式 . 167。 20歲時發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測量的論文。黎曼被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數(shù)學。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。黎曼由于在柏林大學師從狄利克雷研究數(shù)學 ,且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。 1859年，黎曼發(fā)表論文 《 在給定數(shù)之下的素數(shù)個數(shù) 》 。 組合拓撲的開拓者 在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓撲的零散結(jié)果，其中著名的如歐拉關(guān)于閉凸多面體的頂點、棱、面數(shù)關(guān)系的歐拉定理。 黎曼的工作直接影響了 19世紀后半期的數(shù)學發(fā)展，許多杰出的數(shù)學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。畢業(yè)后曾在南希一所中學任教。 勒貝格是 20世紀法國最有影響的分析學家之一 ,也是實變函數(shù)論的重要奠基人。 第二，黎曼可積的函數(shù)類甚為狹小，基本上是 “ 分段連續(xù)函數(shù) ” 構(gòu)成的函數(shù)類。用他的積分理論來研究三角級數(shù) ,很容易地得到了許多重要定理 ,改進了到那時為止的函數(shù)可展為三角級數(shù)的充分條件 ,緊接著導數(shù)的概念也得到了推廣。 勒貝格具有基于直觀幾何的深刻洞察力?？偨ㄖ娣e ，占地 200公頃，其中近 5公頃在巴黎行政區(qū)內(nèi)。 1, (13) 式得到 則函數(shù) 在點 ?? ? ?( 0 ) ( 0 ) ,fx? ? 0t ?再令 右連續(xù) . 因 為 ? 在 上至多只有有限個第一類間斷點 , [0, π]所以 在 上可積 . 根據(jù)預備定理 1和推論 2, ? [0, π]?????????? ? ??π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] dπ2 si n2nntf x f x t tt????? ? ??????π011l i m ( ) si n d 0.π2n t n t t?這就證得 (12)式成立 , 從而 (10)式成立 . 用同樣方法可證 (11) 也成立 . 小結(jié) ，黎曼 勒貝格定理 . ． 作業(yè) 習題 5 級數(shù)習題課 常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 一 般 項 級 數(shù) 正 項 級 數(shù) 冪級數(shù) 三角級數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開式 數(shù)或函數(shù) 函 數(shù) 數(shù) 任 意 項 級 數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù) 泰勒級數(shù) 0)( ?xRn為常數(shù)nu )( xuu nn 為函數(shù)滿足狄。盡管飽經(jīng)歲月的磨煉，這所古老的學校在今天仍煥發(fā)著青春的活力，血管中仍流動著探索與創(chuàng)新的新鮮血液。他的論文收集在 《 勒貝格全集 》中。 微積分中的牛頓 —萊布尼茨公式也得到了相應(yīng)的新結(jié)論 ,一門微積分的延續(xù)學科 —實變函數(shù)論在他手中誕生了。這些缺點不僅在泛函分析中導致嚴重困難，而且在無窮級數(shù)的逐項積分這種簡單問題上也導致了嚴重的困難。他的工作使 19世紀在這個領(lǐng)域的研究大為改觀 ,特別是在博雷爾測度的基礎(chǔ)上建立了 “ 勒貝格測度 ” ,并以此為基礎(chǔ)對積分的概念作了最有意義的推廣 :即把被積函數(shù)定義的區(qū)間分成若干個勒貝格可測集 ,然后同樣作積分和 ,那么原來劃分子區(qū)間方法的積分和如果不收斂，則現(xiàn)在劃分為可測集的方法就有可能收斂。1902－ 1906年任雷恩大學講師。 1875年 6月 28日生于博韋， 1941年 7月 26日卒于巴黎。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數(shù)論的工作。黎曼證明了此函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)而未予證明。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對完善分析理論產(chǎn)生深遠的影響。 黎曼幾何的創(chuàng)始人 黎曼對數(shù)學最重要的貢獻還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學和科學各分支的發(fā)展