【正文】 用第二換 用原變量代回 .一般說來，用第一換元積分法時(shí)， 例 5 40 2 xx求 ? ??解 2 12 1 , , d d , 22tt x x x t t x設(shè) 則 ?? ? ? ? ?2 3。 5 微積分學(xué)基本定理 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理 , 并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性 .在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法 . 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng) 二、換元積分法與分部積分法 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 [ ] [ ] , [ ]f a , b x a , b f a , x設(shè) 在 上可積, 則 在 上??積分 。 3習(xí)題第 1題 , 知道 Δ Δ .ii iiTTxx? ? ???? ????[ , ] [ , ] ,T a c c b分割 在 和 上的部分 分別構(gòu)成對(duì)?Δ Δ , Δ Δ .i i i i i i i iTTx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?, [ , ]c T a c T ?為 其 中 一 個(gè) 分 點(diǎn) 則 在 的 部 分 構(gòu) 成[ , ] [ , ] [ , ]a c c b T c b對(duì) 的分割, 在 的部分 構(gòu)成對(duì) 的 ??因此， f 在 [a, c] 與 [c, b]上都可積 . 若 f 在 [a, b] 上可積 ,由必要性證明 ,若分割 T 使點(diǎn) [ , ] [ , ] ,a c c b T T和 的分割, 記為 和 則 ? ??() Δ () Δ () Δ ., i i i i i iT T Tf x f x f x? ? ?分 割 且? ??? ????? ? ?0 , 0 , 0 ,T T T令 則 即得? ??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , ( ) d a b f x x若 在 上 非 負(fù) 、 可 積 則 ??證 ( ) d aJ f x x若 ??? 0 , 0 , ,JT ??? ? ? ? ?對(duì)ab若規(guī)定 時(shí) ?注 ( ) d ( ) d ,baf x x f x x????ab時(shí)?, , ,a b c則對(duì) 的任何大小順序 恒有( ) d 0,ba f x x ??因此 ,0)(1??????JJxfniii ??( ) 0 , Δ ? ??這 與 矛 盾推論 , [ , ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可積 且 ??證 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b? ? ? ?設(shè) 則() Δ .iiTf x J J? ? ? ?? ],[ 1 iii xx ??? ?,d)(d)(d)(0 ??? ??? bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???[ , ],ab 則 若 f 在 [a, b] 上可積 ,則 | f |在 [a, b] 上 也 性質(zhì) 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???證 [ , ] , 0,f a b ???因 為 在 上 可 積,T? 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? 由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x? ?? ?? ? ??? ? ?1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x ??? ?? ? ??? ? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???即 可積 ,且 Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b? ? ?故 即 在 上 可 積 .????( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x? ? ?? ? ?因此證得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x?設(shè) 和 在 上 連 續(xù)0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設(shè)? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當(dāng)時(shí)? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .x a b?由此推得 ?? [ ( ) ( ) ] dba g x f x x???? ? ? ???000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x?? ????? 0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x??????00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x?? 00( ) ( ) 22g x f x ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x ?? ? ?即 ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x, [ , ]f g a b由 在 上可注 2 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b??若積,可得注 1 ,fg例 1 中 條 件 與 的 連 續(xù) 性 可 減 弱 為 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b??和 在 上 可 積 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x??存 在 和 的 連 續(xù) 點(diǎn) 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???則二、積分中值定理 定理 ( 積分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a b? ?若 在 上 連 續(xù) 則 存 在 使( ) d ( ) ( ) .ba f x x f b a???? 證 由于 f 在 [a, b] 上連續(xù)，因此存在最大值 M 和 ( ) d ( ) dbbaam b a m x f x x? ? ???( ) , [ , ] ,m f x M x a b? ? ? 因 此最小值 m. 由于 d ( ) ,ba M x M b a? ? ??1 ( ) d .bam f x x Mba??? ?1( ) ( ) d .baf f x xba? ? ? ?1( , ) , ( ) ( ) d ,bax a b f x f x xba? ? ? ? ?注 1 ( , )ab? 還 可 以 在內(nèi)取到 ,事實(shí)上若 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理， [ , ] ,ab??? 使則由連續(xù)函數(shù)的介值定理 , 必恒有 即??? ?1( ) ( ) d , ( , ) .baf x f t t x a bba或 恒 有??? ?1( ) ( ) d , ( , ) ,baf x f t t x a bba1 1 1( ) d ( ) d db b ba a af x x f t t xb a b a b a??? ??? ? ???? ? ?1 ( ) d , 。 g 在 [ a, b ] 上可積 , 且 性質(zhì) 3 , [ , ] [ , ]f g a b f g a b若 在 上 可 積 ， 則 在 上證 , [ , ] [ , ]f g a b a b因 在 上可積，故在 上都有界,0 , [ , ] , ( ) , ( ) .M x a b f x M g x M即 ? ? ? ? ? ?0, , Δ 。i i im f x x x x i n?? ? ?[ , ] ,f a b設(shè) 在 上有界對(duì)任意分割 定義 2 1( 1 , 2 , ) [ , ]i i i i iM m i n f x x? ?? ? ?稱 為 在 上 的.振 幅定理 （可積準(zhǔn)則） 函數(shù) f 在 [a, b]上可積的充要 條件是： 0 , ,T?? ? ? 分 割 使11( ) ( ) ( ) Δ Δ .nni i i i iiiS T s T M m x x????? ? ? ? ???此定理將在本章第六節(jié)定理 中證明 . 在用它 振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍 ,是一個(gè)與連 續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念 . .1????niii x ??證明可積性問題時(shí) ,有多種方法可使 11Δ Δ .nni i iiixxba??????????常見的有三種方法 ,下面分別作出介紹 . 每個(gè) abi ?? ?? ，從而 第一種方法 : , [ , ] .a b f例如 在 上一致連續(xù)的 , 便屬于這種情形定理 （連續(xù)必可積） 連續(xù)，則 可積 . 若 [ , ]f a b在上 [ , ]f a b在上連續(xù) ,從而 一致連續(xù) .于 證 [ , ]f a b在上 [ , ]ab在上( ) ( ) .f x f x ba?? ???? ?iii mM ???1s u p { ( ) ( ) , [ , ] }iif x f x x x x x， ?? ?? ? ??? ? ?,ab ?? ?從而 11Δ Δ .nni i iiixxba??????????因此當(dāng) [ , ]a b T T ?上的分割 滿足 時(shí), ?0 , 0 , , [ , ] ,x x a b?? ? ??? ? ? ? ? ?是 ,xx ?若則? ????, [ , ]f a b例如 在 上單調(diào)時(shí), 有1( ) ( ) ,niif b f a?????1, , ,niiM????若 有 界 即 對(duì) 任 意 分 割第二種方法 : 11Δ || || .nni i iiix T MM?? ? ???? ? ???| | | | ,T M??則當(dāng) 時(shí)1,niiM????[ , ]f a b從 而 可 證 在 上 可 積 . 定理 （單調(diào)必可積） [ , ] [ , ]f a b f a b若 是 上的單調(diào)函數(shù), 則 在 上可積.f 證 不妨設(shè) 是非常值的增函數(shù)，則對(duì)任意分割 01: . . . ,nT a x x x b? ? ? ? ?1( ) ( ) , 1 , 2 , , ,i i if x f x i n? ?? ? ?于是 ? ?111( ) ( ) ( ) ( ) .nni i iiif x f x f b f a? ???? ? ? ???因此 ,若 ,( ) ( )T f b f a? 則? ?11Δnni i iiixT????????? ? .)()()()( ?? ????? afbfafbfΔ ,iix?在 中???Δiix?而 在 中 ，?? ???,)(2 abi ??? ??,)(2 mMx i ????? ??Δ Δ Δ ,i i i i i ix x x? ? ?若 ? ? ?? ????? ? ?第三種方法 : , 1 , 2 , , .i M m i n? ? ? ?于是 ? ?? ??????????? iiiiii xxx ???)()(2)()(2 mMmMabab ?????? ??.??[ , ] ,M m f a b其中 是 在 上的振幅 從而?0,?? ??? 取 滿足0 ( ) .2 ( ) baMm?? ?? ? ? ?? 定理 （有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積） 若 [ , ]f a b在上有界 ,且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)， 此時(shí)可用第三種方法證明 f 可積 . f 在 [a, b] 上可積 . 只有一個(gè)間斷點(diǎn) ,且為 b. 證 不妨設(shè) [ , ]f a b在上[ , ]f a b若 在 上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則. [ , ] ,f b b??界 設(shè) 在 上的振幅為 則???.2)(2)( ???? ??????? mMmM,...: 110 ? ???????? ? bxxxaT n使 .2???Tii x?? ?則存在分割 [ , ]f a b ?由于 在 上連續(xù), ??[ , ]M m f a b其 中 與 分 別