數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限概念(參考版)
2024-08-24 12:13本頁面
【正文】 )(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點 x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點 x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 返回 后頁 前頁 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 , 這 就可以知道這些定理是顯然的 . 里將證明留給讀者 . 在下一節(jié)學(xué)過歸結(jié)原則之后 , 返回 后頁 前頁 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 0 0 .2??例 1 .a r c ta nl im x xx ???求π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以返回 后頁 前頁 例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時又當(dāng) ,0?x因此由迫斂性得 。)( ??? Axf有時而當(dāng) ,||0 20 ???? xx .)( ??? Bxg0,? ? 分別存在正數(shù) 12,??使當(dāng) 010 | |xx ?? ? ?時 , 有 返回 后頁 前頁 滿足時則當(dāng)令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因為從而有 ,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁 前頁 且設(shè) ,)(l i m)(l i m00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(l i m0Axhxx ??那么證 因為 所以對于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時當(dāng)存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁 前頁 .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁 前頁 。 :)(l i m0的充要條件是Axfxx ??,1s g nl i m,1s g nl i m 00 ??? ?? ?? xx xx由于 xx s g nlim 0?所以不存在 . 返回 后頁 前頁 作為本節(jié)的結(jié)束 ,我們來介紹兩個特殊的函數(shù)極限 . 例 9 證明狄利克雷函數(shù) ??????無理數(shù)，有理數(shù)xxxD0,1)(證 00 1R , , .2xA ???對于任意的 以及任意實數(shù) 取處處無極限 . ,||0 0* ???? xx,QR,21||,0 * ???? xA 取若對于任意的 ?滿足 返回 后頁 前頁 .21|||)(| 0* ????? AAxD**01| | , Q , 0 | | ,2A x x x? ? ? ? ?若 取 滿 足 則?.21|1||)(| 0* ?????? AAxD這就證明了結(jié)論 . 則 返回 后頁 前頁 例 10 設(shè)黎曼 函數(shù) .1,0,0,1),(,1)(?????????無理數(shù)以及xqpqpxqxR00: ( 0, 1 ) , li m ( ) R x?? ? ?求證證 .10 ?? ??? NN ，使，取一正整數(shù)因為在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有 .)(, 21 Knxxx n ??個 , 故可設(shè)這些有理數(shù)為 2 )1( ?? NNK返回 后頁 前頁 這就是說，除了這 n 個點外 , 其他點的函數(shù)值都 ,)1( 010 in xxxxx ?可設(shè)中的某一個是若 ?}.||{mi n},{)2( 0110 xxxxx knkn ??? ???則令若 ?時，當(dāng)于是 ???? ||0, 0xx對以上兩種情形都有 .|0)(| ???xR這就證明
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1