【正文】 3..x a tay a t? ???????已 知星 形 線求 它 所 圍 成 的 面 積它 的 弧 長(zhǎng)它 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 旋 轉(zhuǎn) 體體 積 及 表 面 積a? aoyx解 .1 0 A設(shè)面積為 由對(duì)稱(chēng)性 ,有 ?? a y d xA 04? ? ??? 0223 )s i n(c o s3s i n4 dtttata???? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta .83 2a??.2 0 L設(shè)弧長(zhǎng)為 由對(duì)稱(chēng)性 ,有 ?????? 2022 )()(4 dtyxL ??? 20 s i nc os34 t ?.,3 0 VS 體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對(duì)稱(chēng)性 ,有 ? ???? a x dxyyS 0 2122????? 20 3 s i nc os3s i n4 t dttata .512 2a??? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 02262 )s i n(c o s3s i n2 dtttata????? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta .1 0532 3a??一、 選擇題：1 、 曲線 xy ln? 與直線ex1? ， ex ? 及 0?y 所圍成 的區(qū)域的面積 ?S （ ）；（ A ） )11(2e? ； （ B ）ee1? ；（ C ）ee1? ； （ D ） 11?e .2 、曲線 ?si n2?r 與 ?2c o s2?r 所圍圖形公共部分 的面積 ?S （ ）；（ A ）23112???； （ B ）41324???；（ C ）21312???； （ D ）2316??? .測(cè) 驗(yàn) 題 3 、曲線 ,c o s3?ax ? ?3sinay ? 所圍圖形的面積 ?S （ ） ； （ A ）2323a? ； （ B ）283a? ； （ C ）221a ； （ D ）2161a? .4 、由球面 9222??? zyx 與旋轉(zhuǎn)錐面2228 zyx ?? 之 間包含 z 軸的部分的體積 ?V ( ) ； （ A ） ?1 4 4 ； （ B ） ?36 ； （ C ） ?72 ； （ D ） ?24 .5 、用一平面截半 r徑為 的球，設(shè)截得的部分球體高 為 )20( rhh ?? 體 V積為 ，則 ?V （ ）；（ A ） )2(32hrh??； （ B ） )3(32hrh??；（ C ） )2(2hrh ?? ； （ D ） )3(42hrh??. 6 、曲線 422 ??? xxy 上點(diǎn) )4,0(0M處的切線 TM0 與曲線 )1(22 ?? xy 所圍圖形的面積 ?S （ ）； （ A ） 。后而拋物線法有六 元 素 法 理 論 依 據(jù) 名稱(chēng)釋譯 所求量 的特點(diǎn) 解 題 步 驟 定積分應(yīng)用中的常用公式 一、主要內(nèi)容 習(xí)題課 二、典型例題 33c os( 0)sin1. 。 6 定積分的近似計(jì)算 利用牛頓 萊布尼茨公式雖然可以精確計(jì) 近似計(jì)算方法 . 數(shù)能夠求出的情形 .我們這里介紹定積分的 算定積分的值 ,但它僅適合被積函數(shù)的原函 根據(jù)定積分的定義 , 1( ) d ( )Δ ,nbiiaif x x f x x?? ??或11( ) d ( )Δ .nbiiaif x x f x x??? ??在幾何意義上 ,這是用一系列小矩形來(lái)近似小曲邊 兩種方法 . 法 .矩形法的精度較差，通常使用下面著重介紹的 梯形面積的結(jié)果 ,所以把這個(gè)近似計(jì)算法稱(chēng)為 矩形 一、梯形法 將積分區(qū)間 [ , ]a b n作 等 分 , 分 點(diǎn) 為01 , Δ .nibaa x x x b xn?? ? ? ? ? ?相應(yīng)的被積函數(shù)值記為 01, , , ( ( ) , 0 , 1 , , ) ,n i iy y y y f x i n??曲線 上相應(yīng)的點(diǎn)記為 ()y f x?01, , , ( ( , ) , 0 , 1 , , ) .n i i iP P P P x y i n?將曲線上每一段 這使每個(gè)小 11i i i iP P P P??用 替 代 ,1 Δ , 1 , 2, , .2iiiyy x i n? ? ?于是 ,整個(gè)曲邊梯形面積的近似值為 11( ) d Δ ,2nbiiiaiyyf x x x???? ??即 曲邊梯形換成了梯形 ,其面積為 011( ) d ( ) ,22b nnayybaf x x y yn ??? ? ? ? ??以上近似式稱(chēng)為定積分的梯形法公式 . 二、拋物線法 由梯形法求定積分的近似值 , 當(dāng) 為凸曲 ()y f x?線 時(shí)偏大 , 為凹曲線時(shí)偏小 . 用拋物線法可克服上 述缺點(diǎn) . 將積分區(qū)間 分點(diǎn)為 : [ , ] 2a b n作 等 分 ,0 1 2 , Δ .2nibaa x x x b xn?? ? ? ? ? ?相應(yīng)的被積函數(shù)值記為 0 1 2, , , ( ( ) , 0 , 1 , , 2 ) ,n i iy y y y f x i n??曲線 上相應(yīng)的點(diǎn) 記 為 ()y f x?0 1 2, , , ( ( , ) , 0 , 1 , , 2 ) .n i i iP P P P x y i n?02[ , ]xx ()y f x?現(xiàn)把區(qū)間 上的曲線 用通過(guò)三點(diǎn) 0 0 0 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , ) , ( , )P x y P x y P x y的拋物線 21 1 1 1()p x x x? ? ?? ? ? 來(lái)近似替代 , 便有 2 2 20 0 021 1 1 1( ) d ( ) d ( ) dx x xx x xf x x p x x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?2 2 , 2[]iixx?同 樣 地 在 上 用2( ) ( ) ,i i i ip x x x y f x? ? ?? ? ? ?替 代 曲 線 將得到 200 2 1 0 1 2( 4 ) ( 4 ) .66xx bay y y y y yn? ?? ? ? ? ? ?21 0 2 1 0 2 1( ) 2 ( ) 4 ]x x x x? ? ?? ? ? ?22201 0 1 0 1 1 2 1 2 1[ ( ) ( )6xx x x x x? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?3 3 2 3112 0 2 0 1 2 0( ) ( ) ( )32x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ?222 2 2 22 2 2 1 2( ) d ( ) d( 4 ) .6iiiixxixxi i if x x p x xbay y yn??????? ? ???最后得到 2221( ) d ( ) diinbxax if x x f x x??? ???2 2 2 1 21( 4 ) .6 n i i iiba y y yn ????? ? ??即 210 2 1 3( ) d 4 ( )6nbnabaf x x y y y y yn ?? ?? ? ? ? ? ???2 4 2 2( ) .ny y y ? ?? ? ? ? ?這就是拋物線公式，亦稱(chēng)為辛普森公式 . 例 計(jì)算 的近似值 . 1 20 d1 xx??解 將區(qū)間 十等分，各分點(diǎn)上被積函數(shù)的值列 [0,1]表如下： xi 0 yi 1 xi 1 yi (1) 用矩形法公式 10 1 920d1 ( ) 0 . 8 0 9 91 1 0x y y yx ? ? ? ? ???1 2 1 01 ( ) 0 .7 6 0 0 ) .10 y y y? ? ? ?( 或(2) 用梯形法 1 0 1 01920d1 ( ) 0 .7 8 5 0 .1 1 0 2 2yyx yyx ? ? ? ? ? ???(3) 用拋物線法 0 10 1 3 92 4 81( 4 ( )302 ( ) ) .y y y y yy y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?120d1xx??與精確值 120d π 0 .7 8 5 3 9 8 1 641xx ????相比較，矩形法只有一位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的 。A a t x y d t??? ? ??解2 202 2 ( 1 c o s ) s in2ta t d t?????2643a? ?a? aoyx? ?33c os0sin1)2)x a tay a t? ???????例 5 已 知 星 形 線求 它 所 圍 成 的 面 積 ；它 的 弧 長(zhǎng) ；3) 它 繞 坐 標(biāo) 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的旋 轉(zhuǎn) 體 體 積 及 表 面 積 .解 由對(duì)稱(chēng)性 ,有 ?? a y d xA 04? ? ??? 0223 )s i n(c o s3s i n4 dtttata???? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta .83 2a??2 ) .s設(shè) 弧 長(zhǎng) 為 由對(duì)稱(chēng)性 ,有 22204 ( ) ( )s x y d t?????? ??? 20 s i nc os34 t ?1 ) .A設(shè) 面 積 為3 ) , .SV設(shè) 旋 轉(zhuǎn) 體 的 表 面 積 為 體 積 為由對(duì)稱(chēng)性 ,有 ? ???? a x dxyyS 0 2122????? 20 3 s i nc os3s i n4 t dttata .512 2a??? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 02262 )s i n(c o s3s i n2 dtttata????? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta .1 0532 3a??作業(yè) 習(xí)題 3 167。 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 定積分的所有應(yīng)用問(wèn)題 ,都可按 “ 分 導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式 . “微元法 ” 來(lái)處理 .本節(jié)將介紹微元法 , 量的積分形式 ,但在實(shí)際應(yīng)用中又常用 割 ,近似代替 ,求和 ,取極限 ” 導(dǎo)出所求 ( ) ( ) d ,xax f t t? ? ?則 ( ) ( ) , d ( ) dx f x f x x??? ?? 或, 且 ( ) 0 , ( ) ( ) d .baa b f x x???? ?當(dāng) ],[ baf 為 上的連續(xù)函數(shù)時(shí)，令 一、微元法 現(xiàn)在恰好要把問(wèn)題倒過(guò)來(lái) : 若所求量 是分布在區(qū)